Thema: Differenzieren von Funktionen, die multipliziert werden - Produktregel

Wenn eine Funktion das Produkt zweier Funktionen ist, kann diese in vielen Fällen nur mit der Produktregel abgeleitet werden.

Die Produktregel für die Ableitung einer Produktfunktion p(x) lautet formal:

$\begin{array}{}p\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)\mathrm{p\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)·g\left(x\right)+f\left(x\right)·\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)\end{array}$

Oder in Textform: Eine Produktfunktion p(x) wird abgeleitet, in dem zunächst die erste Teilfunktion f(x) abgeleitet und mit der nicht abgeleiteten zweiten Teilfunktion g(x) multipliziert wird und dann das Produkt der ersten nicht abgeleiteten Teilfunktion f(x) mit der abgeleiteten zweiten Teilfunktion g(x) dazu addiert wird.

Wie geht man vor.

Hier die Anleitung:

1. Feststellung der ersten Teilfunktion f(x) und der zweiten Teilfunktion g(x).
2. f(x) und g(x) einzeln ableiten: f '(x) und g'(x).
3. Jetzt f(x), f '(x), g(x) und g'(x) in die Formel der Ableitungsfunktion p'(x) = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x) einsetzen.
4. p'(x) gegebenenfalls noch vereinfachen.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion
$p\left(x\right)=x^3·(3x^2-x)$

1. Feststellen der ersten Teilfunktion f(x) und der zweiten Teilfunktion g(x):

$f\left(x\right)=x3$

und
$g\left(x\right)=3x^2-x=3x^2-x^1$

2. Die innere und die äußere Funktion einzeln ableiten:
$\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=3x^{3-1}=3x^2$

und
$\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)=2·3x^{2-1}-1·x^{1-1}=6x^1-x^0=6x-1$

Anmerkung: In der obigen Berechnung wird benutzt: $x^0=1$
Dies ergibt sich aus der Potenzregel (siehe dazu auch Potenzen mit gleiche Basis dividieren):

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Für m=n gilt hier:

$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}$

also $1=a^0$

3. Jetzt f(x), f '(x), g(x) und g'(x) in die Formel der Ableitungsfunktion p'(x) = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x) einsetzen.:

$\begin{array}{}\mathrm{p\; \text{'}}\left(x\right)=3x^2·(3x^2-x)+x^3·(6x-1)\end{array}$

4. p'(x) gegebenenfalls noch vereinfachen

Hier macht es Sinn noch auszumultiplizieren, um p'(x) zu vereinfachen:

Weiteres Beispiel:

Um p'(x) zu berechnen, wäre es im vorherigen Beispiel einfacher gewesen p(x) erst auszumultiplizieren und dann abzuleiten. Das ist immer so, wenn zwei ganzrationale Funktionen miteinander multipliziert werden.
Handelt es sich bei einer der beiden Funktionen oder bei beiden Funktionen aber nicht um eine ganzrationale Funktion, dann kommt man um die Produktregel für das Ableiten nicht drumherum.

Gegeben ist die Funktion
$p\left(x\right)=x^2·e^{-2x}$

1. Feststellung der ersten Teilfunktion f(x) und der zweiten Teilfunktion g(x):

$f\left(x\right)=x^2$

und

$g\left(x\right)=e^{-2x}$

2. Die innere und die äußere Funktion einzeln ableiten:

$\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=2x$

g(x) = e^-2x ist eine verkettete Funktion, die aus der äußeren Funktion e^x und der inneren Funktion -2x besteht. Es muss also die Kettenregel angewendet werden:

Die äußere Funktion Funktion e^x abgleitet ergibt wieder e^x, wobei die innere Funktion beibehalten werden muss, also e^-2x. Die innere Funktion abgeleitet ergibt (-2x)' = -2. Insgesamt ergibt sich also:

$\mathrm{g\; \text{'}}\left(x\right)=e^{-2x}·\left(-2\right)=-2e^{-2x}$

3. Jetzt f(x), f '(x), g(x) und g'(x) in die Formel der Ableitungsfunktion p'(x) = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x) einsetzen.:

$\begin{array}{}\mathrm{p\; \text{'}}\left(x\right)=2x·e^{-2x}+x^2·\left(-2e^{-2x}\right)=2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}\end{array}$

4. p'(x) gegebenenfalls noch vereinfachen:

$\begin{array}{}\mathrm{p\; \text{'}}\left(x\right)=2x·e^{-2x}-2x^2·e^{-2x}\end{array}$

In den Termen vor und hinter dem Minuszeichen kommen sowohl 2x als auch e^-2x vor. Diese lassen sich zur Vereinfachung von p'(x) also ausklammern (siehe hierzu auch das Kapitel "Gleichungen höherer Ordung durch ausklammern lösen"):

$\begin{array}{}\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=2x·e^{-2x}·(1-x)\end{array}$

Nebenbemerkung: Dieses Ausklammern ist oft nützlich, wenn die Nullstellen einer Funktion benötigt werden. Das ist ja häufig der Fall, wenn z.B. das Minimum, das Maximum oder der Wendepunkt einer Funktion bestimmt werden soll.

Jetzt können die Nullstellen von p'(x) einfach bestimmt werden. Die Funktion besteht jetzt aus drei Termen, die miteinander multipliziert werden. Jeder der Terme kann jetzt einzeln auf 0 gesetzt und so die Nullstellen berechnet werden. Hier ergeben sich:

2x = 0 --> x = 0 (1. Nullstelle)

e^-2x = 0 --> e^-2x wird nie 0

1-x = 0 --> x = 1 (2. Nullstelle)

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