Thema: Aufgabenstellungen zur Produktregel

HINWEIS: Im Folgenden wird eine Aufgabe zur Ableitung einer Funktion gestellt, bei der die Produktregel und die Kettenregel angewendet werden müssen. Versuche zunächst die Aufgabe ohne Hinweise zu lösen. Klappe danach die Lösung auf und vergleiche mit Deiner Lösung. Wenn du das Ergebnis nicht richtig hast oder nicht selbst auf die Lösung kommst, dann klappe nach und nach die einzelnen Hinweise auf und versuche dann immer wieder selbstständig die Aufgabe zu lösen.

Aufgabe

Gegeben sei die folgende Funktion: $p (x) = 2 e^{3 x} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Bestimme die Ableitung p'(x).

Lösung

p' (x) = 2 e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (3 x - 4)

Hinweis 1

Zerlege die Funktion in zwei Teilfunktionen:

f (x) = 2 \cdot e^{3 x}

g (x) = {(x - 2)}^{2}

Hinweis 2

Es handelt sich um ein Produkt: p(x) = f(x) · g(x) ⇒ Produktregel:

p' (x) = f ' (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g' (x)

Hinweis 3

Leite f(x) ab:

f (x) = 2 e^{3 x}

Es muss die Kettenregel angewendet werden:
Äußere Funktion:

2 e^{x}

Äußere Funktion ableiten:

2 e^{x}

Innere Funktion:

3 x

Innere Funktion ableiten:

3

Äußere Funktion ableiten unter Beibehaltung der inneren Funktion:

2 e^{3 x}

Ableitung von f(x):

f ' (x) = 2 e^{3 x} \cdot 3 = 6 e^{3 x}

Hinweis 4

Leite g(x) ab:

g (x) = {(x - 2)}^{2}

Auch hier muss die Kettenregel angewendet werden:
Äußere Funktion:

x^{2}

Äußere Funktion abgeleitet:

2 x

Innere Funktion:

x - 2

Innere Funktion abgeleitet:

1

Äußere Funktion abgeleitet unter Beibehaltung der inneren Funktion:

2 (x - 2)

Ableitung von g(x):

g' (x) = 2 (x - 2) \cdot 1 = 2 (x - 2)

Hinweis 5

Setze nun f(x), f '(x), g(x) und g'(x) in die Produktregel ein:

p' (x) = f ' (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g' (x)

Hinweis 6

Einsetzen ergibt:

p' (x) = 6 e^{3 x} \cdot {(x - 2)}^{2} + 2 e^{3 x} \cdot 2 \cdot (x - 2)

Hinweis 7

Vereinfache die Funktionsgleichung, in dem Du zunächst gleiche Terme rechts und links vom Pluszeichen identifizierst:

Hinweis 8

Rechts und links des Pluszeichens befinden sich jeweils die folgenden gleichen Terme:

e^3x
x - 2

Klammere diese zunächst aus.

Hinweis 9

Es ergibt sich:

\begin{matrix} p' (x) = 6 e^{3 x} \cdot {(x - 2)}^{2} + 2 e^{3 x} \cdot 2 \cdot (x - 2) \\ p' (x) = e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (6 (x - 2) + 2 \cdot 2) \end{matrix}

Hinweis 10

Wenn man sich jetzt überlegt, dass 6 = 2 · 3 ist kann auch noch die 2 ausgeklammert werden:

\begin{matrix} p' (x) = e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (6 (x - 2) + 2 \cdot 2) \\ p' (x) = e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (2 \cdot 3 (x - 2) + 2 \cdot 2) \\ p' (x) = 2 \cdot e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (3 (x - 2) + 2) \end{matrix}

Hinweis 11

Jetzt lässt sich der letzte Klammerausdruck noch ausmultiplizieren:

\begin{matrix} p' (x) = 2 \cdot e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (3 (x - 2) + 2) \\ p' (x) = 2 \cdot e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (3 x - 6 + 2) \\ p' (x) = 2 \cdot e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (3 x - 4) \\ p' (x) = 2 e^{3 x} \cdot (x - 2) \cdot (3 x - 4) \end{matrix}

Fertig!

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Webprogrammierung und Inhalt: Dr. Dag Pechtel