Thema: Differenzieren von Funktionen mit Division – Quotientenregel

Wenn eine Funktion als Quotient zweier Funktionen dargestellt wird, kann diese häufig nur mit der Quotientenregel abgeleitet werden.

Die Quotientenregel für die Ableitung einer Quotientenfunktion q(x) lautet formal:

$\begin{array}{}q\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\mathrm{q\text{'}}\left(x\right)=\frac{\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)·g\left(x\right)-f\left(x\right)·\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)}{{g\left(x\right)}^2}\end{array}$

Oder in Textform: Eine Funktion q(x), die als Bruch f(x)/g(x) geschrieben ist, wird abgeleitet, indem man:

1. die Ableitung der Zählerfunktion f(x) mit der Nennerfunktion g(x) multipliziert,
2. davon das Produkt der Zählerfunktion f(x) mit der Ableitung der Nennerfunktion g(x) abzieht
3. und dann das Ganze durch das Quadrat der Nennerfunktion teilt.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion $q\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1}$

1. Feststellen der Zählerfunktion f(x) und der Nennerfunktion g(x):

$f\left(x\right)=x^2$

$g\left(x\right)=x+1$

2. f(x) und g(x) ableiten:

$\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=2x$
$\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)=1$

3. In die Quotientenregel einsetzen:

$\mathrm{q\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x·(x+1)-x^2·1}{{(x+1)}^2}$

4. Vereinfachen:

$\begin{array}{}\mathrm{q\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x(x+1)-x^2}{{(x+1)}^2}\mathrm{q\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x^2+2x-x^2}{{(x+1)}^2}\mathrm{q\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^2+2x}{{(x+1)}^2}\mathrm{q\text{'}}\left(x\right)=\frac{x(x+2)}{{(x+1)}^2}\end{array}$

Hinweis:
Bei einfachen rationalen Funktionen kann manchmal durch Umformen oder Polynomdivision die Ableitung vereinfacht werden. In vielen Fällen – insbesondere bei gebrochenrationalen oder verketteten Funktionen – ist die Quotientenregel jedoch unverzichtbar.

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