Thema: Aufgaben zur Quotientenregel

HINWEIS: Die Aufgaben erfordern die Quotientenregel. Löse zuerst selbstständig, dann klappe die Hinweise bzw. Lösungen auf.

Aufgabe 1

Gegeben sei die Funktion: $q (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bestimme die Ableitung q'(x).

Lösung

q' (x) = \frac{-2}{{(x - 1)}^{2}}

Hinweis 1

Zähler- und Nennerfunktion bestimmen:

f (x) = x + 1

g (x) = x - 1

Hinweis 2

Quotientenregel:

q' (x) = \frac{f ' (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g' (x)}{{g (x)}^{2}}

Hinweis 3

Ableitungen der Zähler- und Nennerfunktion:

f ' (x) = 1

g' (x) = 1

Hinweis 4

Einsetzen:

q' (x) = \frac{1·(x-1)−(x+1)·1}{{x−1}^{2}}

Hinweis 5

Vereinfachen:

\begin{matrix} q' (x) = \frac{1·(x-1)−(x+1)·1}{{(x−1)}^{2}} \\ q' (x) = \frac{(x-1)−(x+1)}{{(x−1)}^{2}} \\ q' (x) = \frac{x-1−x-1}{{(x−1)}^{2}} \\ q' (x) = \frac{-2}{{(x−1)}^{2}} \end{matrix}

Gegeben sei die Funktion: $q (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$