Thema: Gleichungen höherer Ordnung lösen

Gleichungen höherer Ordnung durch Ausklammern lösen

Voraussetzung für das Lösen von Gleichungen höherer Ordnung durch Ausklammern ist es, dass die Gleichung so umgestellt ist, dass auf der rechten (oder linken) Seite der Gleichung eine 0 steht.

Eine weitere Mindestvoraussetzung für das Lösen von Gleichungen höherer Ordnung ist, dass auf der anderen Seite der Gleichung, auf der keine 0 steht, kein Term ohne x steht.

Beispiel für eine Gleichung, bei der ein Term ohne x steht (rot markiert):

2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 4 = 0

Beispiel für eine Gleichung, bei der kein Term ohne x steht:

2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x = 0

Denn das Ziel beim Lösen von Gleichungen höherer Ordnung durch Ausklammern ist es, dass auf der linken Seite der Gleichung nur Faktoren stehen.

Beispiel:

\begin{matrix} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x = 0 \\ 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 5 \cdot x \cdot x - 3 \cdot x = 0 \\ 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 5 \cdot x \cdot x - 3 \cdot x = 0 \\ x \cdot (2 \cdot x \cdot x + 5 \cdot x - 3) = 0 \\ x \cdot (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0 \end{matrix}

Das rote x wurde ausgeklammert und es sind 2 Faktoren entstanden:

1. Faktor:

x

2. Faktor:

2 x^{2} + 5 x - 3

Wenn der 1. Faktor x gleich 0 ist, dann ergibt sich für die gesamte Gleichung:

\begin{matrix} x \cdot (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0 \\ 0 \cdot (2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 3) = 0 \\ 0 \cdot (0 + 0 - 3) = 0 \\ 0 \cdot (-3) = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}

Die ganzen Rechenschritte in der Klammer sind eigentlich unerheblich. Es reicht, einfach, dass durch x=0 der 1. Faktor 0 ist und damit ist die ganze linke Seite 0, völlig unerheblich, was in der Klammer steht. Es sollte nur gezeigt werden, dass wirklich 0 herauskommt.

Beim zweiten Faktor ist das nicht ganz so einfach. Was ergibt sich, wenn der 2. Ausdruck 0 sein soll?

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

Es ergibt sich in diesem Fall nichts anderes als eine quadratische Gleichung, für die es ja einen Lösungsweg gibt (siehe Kapitel Quadratische Gleichungen). Wird diese Gleichung z.B. mit der p-q-Formel gelöst, ergibt sich

\begin{matrix} 2 x^{2} + 5 x - 3 = 0 \\ x^{2} + 2.5 x - 1.5 = 0 \\ x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1,2} = - \frac{2.5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2.5}{2})}^{2} - (-1.5)} \\ x_{1,2} = - 1.25 \pm \sqrt{{(1.25)}^{2} + 1.5} \\ x_{1,2} = - 1.25 \pm \sqrt{1.5625 + 1.5} \\ x_{1,2} = - 1.25 \pm \sqrt{3.0625} \\ x_{1,2} = - 1.25 \pm 1.75 \\ x_{1} = - 1.25 + 1.75 \\ x_{1} = 0.5 \\ \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix}

Es ergeben sich also 2 x-Werte, für die der Klammerausdruck der gesamten zu lösenden Gleichung 0 wird:

Für x = 0.5:

\begin{matrix} x \cdot (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0 \\ 0.5 \cdot (2 \cdot {0.5}^{2} + 5 \cdot 0.5 - 3) = 0 \\ 0.5 \cdot (2 \cdot 0.25 + 2.5 - 3) = 0 \\ 0.5 \cdot (0.5 + 2.5 - 3) = 0 \\ 0.5 \cdot (3 - 3) = 0 \\ 0.5 \cdot (0) = 0 \\ 0.5 \cdot 0 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}

Für x = -3:

\begin{matrix} x \cdot (2 x^{2} + 5 x - 3) = 0 \\ (-3) \cdot (2 \cdot {(-3)}^{2} + 5 \cdot (-3) - 3) = 0 \\ (-3) \cdot (2 \cdot 9 - 15 - 3) = 0 \\ (-3) \cdot (18 - 15 - 3) = 0 \\ (-3) \cdot (3 - 3) = 0 \\ (-3) \cdot (0) = 0 \\ (-3) \cdot 0 = 0 \\ 0 = 0 \end{matrix}

Es ergeben sich also zusammengefasst drei Lösungen für die Gleichung

\begin{matrix} 2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x = 0 = x \cdot (2 x^{2} + 5 x - 3) \end{matrix}

x = 0 aus dem ersten Faktor x

und

x = 0,5 und x = -3 aus dem 2. Faktor.

Durch das Ausklammern und damit das Umformen der linken Seite der Gleichung in 2 Faktoren wurde also erreicht, dass eine lineare Gleichung

x = 0

und eine quadratische Gleichung

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

statt direkt einer Gleichung höherer Ordnung (hier 3. Grades) gelöst werden musste.

Das Ziel beim Ausklammern muss es also sein, Faktoren mit linearen oder quadratischen Gleichungen zu erhalten.

Warum geht das alles nicht, wenn ein Term ohne x auf der linken Seite der Gleichung steht?

Beispiel für eine Gleichung, bei der ein Term ohne x steht (rot markiert):

2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 4 = 0

Wenn hier x auf der linken Seite ausgeklammert wird, ergibt sich:

\begin{matrix} x \cdot (2 x^{2} + 5 x - 3 + \frac{4}{x}) = 0 \end{matrix}

Hier gibt es jetzt 2 Probleme:

1. Problem:

Der 1. Faktor x könnte jetzt auf den ersten Blick wieder 0 sein und der ganze linke Teil der Gleichung müsste dann ja 0 sein. Würde man x=0 aber auch im 2. Faktor der Gleichung in der Klammer einsetzen, dann würde man dort auf den Ausdruck

\frac{4}{0}

erzeugen.

\frac{4}{0}

ist ein nicht definierter und damit nicht erlaubter Ausdruck. Das kann man sehen, wenn man im Taschenrechner 4 durch 0 dividiert. Der Taschenrechner gibt dann eine Fehlermeldung aus. Die Division durch 0 ist nicht erlaubt!

2. Problem:

Betrachte jetzt einmal nur den 2. Faktor in der Klammer. Dieser müsste 0 werden, damit die gesamte linke Seite der Gleichung 0 wird.

\begin{matrix} 2 x^{2} + 5 x - 3 + \frac{4}{x} = 0 \end{matrix}

Um diese Gleichung zu lösen müssten erst einmal beide Seiten der Gleichung mit x multipliziert werden, damit das x aus dem Nenner verschwindet.

\begin{matrix} (2 x^{2} + 5 x - 3 + \frac{4}{x}) \cdot x = 0 \cdot x \\ 2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x + 4 = 0 \end{matrix}

Es ergäbe sich also wieder die ursprünglich zu lösende Gleichung und man wäre keinen Schritt weiter gekommen.

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Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

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