Thema: Quadratische Gleichungen

HINWEISE:
Wenn Du Schwierigkeiten mit dem Umformen von Gleichungen hast, solltest Du vor dem Weiterlesen, das Thema "Lineare Gleichungen" durcharbeiten, wenn Du dies nicht bereits getan hast.
Wenn Du Schwierigkeiten mit der Bruchrechnung hast, solltest Du vor dem Weiterlesen, das Thema "Bruchrechnung" durcharbeiten, wenn Du dies nicht bereits getan hast.

Von einer quadratischen Gleichung (oder auch Gleichung 2. Grades) wird gesprochen, wenn die Unbekannte - im allgemeinen x - in der 2. Potenz vorkommt und keine höheren Potenzen (3, 4, 5, ...) auftreten.

Dies ist ein Beispiel für eine quadratische Gleichung:

$-4 x = 3 x^{2} - 5$

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die allgemeine Form

${ax}^{2} + bx + c = 0$

bringen. Das obige Beispiel lässt sich folgendermaßen in die allgemeine Form umformen:

$\begin{matrix} -4 x = 3 x^{2} - 5 \\ -4 x + 4 x = 3 x^{2} - 5 + 4 x \\ 0 = 3 x^{2} - 5 + 4 x \end{matrix}$

Die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen vertauschen:

$\begin{matrix} 3 x^{2} - 5 + 4 x = 0 \end{matrix}$

Und jetzt noch die einzelnen Terme nach der Größe ihrer Potenzen ordnen:

$\begin{matrix} 3 x^{2} + 4 x - 5 = 0 \end{matrix}$

Im Vergleich mit der allgemeinen Form ergibt sich jetzt:

$a = 3$ , $b = 4$ und $c = -5$

Die Normalform einer quadratischen Gleichung

Von der Normalform der quadratischen Gleichung spricht man, wenn $a = 1$ ist.

$x^{2} + px + q = 0$

Für das Beispiel gilt also, dass der Faktor 3 vor dem $x^{2}$ zu einer 1 umgeformt werden muss. Das bedeutet, dass die gesamte Gleichung durch 3 dividiert werden muss:

$\begin{matrix} \frac{3 x^{2} + 4 x - 5}{3} = \frac{0}{3} \\ \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3} = \frac{0}{3} \\ 1 x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{5}{3} = 0 \\ x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{5}{3} = 0 \end{matrix}$

Im Vergleich mit der Normalform ergibt sich jetzt:

$p = \frac{4}{3}$ und $q = - \frac{5}{3}$

Die Vorbereitung zur Lösung einer quadratischen Gleichung

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, d.h. den Wert der Unbekannten x zu berechnen, muss die Gleichung zunächst in die allgemeine Form ${ax}^{2} + bx + c = 0$ und dann in die Normalform $x^{2} + px + q = 0$ gebracht werden.

Beispiel:
$\begin{matrix} - 24 + 3 x^{2} = -6 x \\ - 24 + 3 x^{2} + 6 x = -6 x + 6 x \\ - 24 + 3 x^{2} + 6 x = 0 \\ 3 x^{2} + 6 x - 24 = 0 \\ \frac{3 x^{2} + 6 x - 24}{3} = \frac{0}{3} \\ \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{6 x}{3} - \frac{24}{3} = \frac{0}{3} \\ 1 x^{2} + \frac{6}{3} x - \frac{24}{3} = 0 \\ x^{2} + 2 x - 8 = 0 \end{matrix}$

Aufgabe

Wundere Dich nicht, dass bei der folgenden Aufgabe schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du Dein Ergebnis berechnet hast, klicke unten auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

Forme die folgende quadratische Gleichung

$6 - 3 x = \frac{6}{5} x^{2}$

in die Normalform um.

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müsste die Lösung

$x^{2} + 2,5 x - 5 = 0$

herauskommen.

Hinweis 1

Du musst zunächst die Gleichung in die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung bringen.

Hinweis 2

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet

${ax}^{2} + bx + c = 0$

Hinweis 3

Du musst also zunächst die $\frac{6}{5} x^{2}$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.

Hinweis 4

Dann ergibt sich:

$\begin{matrix} 6 - 3 x - \frac{6}{5} x^{2} = \frac{6}{5} x^{2} - \frac{6}{5} x^{2} \\ 6 - 3 x - \frac{6}{5} x^{2} = 0 \end{matrix}$

Hinweis 5

Jetzt die einzelnen Terme nach der Größe ihrer Potenzen ordnen.

Hinweis 6

Dann ergibt sich:

$\begin{matrix} 6 - 3 x - \frac{6}{5} x^{2} = 0 \\ - \frac{6}{5} x^{2} - 3 x + 6 = 0 \end{matrix}$

Hinweis 7

Jetzt musst Du die Gleichung in die Normalform einer quadratischen Gleichung bringen.

Hinweis 8

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet

$x^{2} + px + q = 0$

Hinweis 9

Das heißt aus

$- \frac{6}{5} x^{2}$ musst Du $x^{2}$ machen.

Hinweis 10

Dazu musst Du die beiden Seiten der Gleichung durch $- \frac{6}{5}$ teilen.

Hinweis 11

Dann ergibt sich:

$\begin{matrix} - \frac{6}{5} x^{2} - 3 x + 6 = 0 \\ \frac{- \frac{6}{5} x^{2} - 3 x + 6}{- \frac{6}{5}} = \frac{0}{- \frac{6}{5}} \end{matrix}$

Hinweis 12

Und weiter:

$\begin{matrix} \frac{- \frac{6}{5} x^{2} - 3 x + 6}{- \frac{6}{5}} = \frac{0}{- \frac{6}{5}} \\ \frac{- \frac{6}{5} x^{2}}{- \frac{6}{5}} - \frac{3 x}{- \frac{6}{5}} + \frac{6}{- \frac{6}{5}} = 0 \end{matrix}$

Hinweis 13

Mit dem Kehrwert der Nenner multiplizieren:

$\begin{matrix} \frac{- \frac{6}{5} x^{2}}{- \frac{6}{5}} - \frac{3 x}{- \frac{6}{5}} + \frac{6}{- \frac{6}{5}} = 0 \\ x^{2} - \frac{3}{1} \cdot (- \frac{5}{6}) x + \frac{6}{1} \cdot (- \frac{5}{6}) = 0 \end{matrix}$

Hinweis 14

Kürzen und ausmultiplizieren:

$\begin{matrix} x^{2} - \frac{3}{1} \cdot (- \frac{5}{6}) x + \frac{6}{1} \cdot (- \frac{5}{6}) = 0 \\ x^{2} - \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{2}) x + \frac{1}{1} \cdot (- \frac{5}{1}) = 0 \\ x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{5}{1} = 0 \end{matrix}$

Hinweis 15

Die Normalform der quadratischen Gleichung lautet:

$\begin{matrix} x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{5}{1} = 0 \\ x^{2} + 2,5 x - 5 = 0 \end{matrix}$

Lösung

$\begin{matrix} 6 - 3 x = \frac{6}{5} x^{2} \\ 6 - 3 x - \frac{6}{5} x^{2} = \frac{6}{5} x^{2} - \frac{6}{5} x^{2} \\ 6 - 3 x - \frac{6}{5} x^{2} = 0 \\ - \frac{6}{5} x^{2} - 3 x + 6 = 0 \\ \frac{- \frac{6}{5} x^{2} - 3 x + 6}{- \frac{6}{5}} = \frac{0}{- \frac{6}{5}} \\ \frac{- \frac{6}{5} x^{2}}{- \frac{6}{5}} - \frac{3 x}{- \frac{6}{5}} + \frac{6}{- \frac{6}{5}} = 0 \\ x^{2} - \frac{3}{1} \cdot (- \frac{5}{6}) x + \frac{6}{1} \cdot (- \frac{5}{6}) = 0 \\ x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{5}{1} = 0 \\ x^{2} + 2,5 x - 5 = 0 \end{matrix}$

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, dann kannst Du dort das Lösen einer quadratischen Gleichung mit der p-q-Formel wiederholen. Danach wird Dir auch dort eine Aufgabe zgestellt, die Du selbst lösen solltest.

Also jetzt geht's los. Klicke auf "Weiter".

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