Herleitung der pq-Formel

Wie im vorherigen Kapitel angesprochen, muss eine quadratische Gleichung zunächst in die Normalform

$x^{2} + px + q = 0$

gebracht werden, wobei p und q Elemente der reellen Zahlen sind, also ganze Zahlen , Brüche, Kommazahlen, negativ, positiv oder 0 sein können.

Beispiele:

$x^{2} + 3x + 5 = 0$

oder

$x^{2} - 3,4x - \frac{2}{3} = 0$

Jetzt könnte man versuchen diese Gleichung so zu lösen wie eine lineare Gleichung (ganzrationale Funktion 1. Grades). Das wird aber aufgrund des quadratischen Terms $x^{2}$ nicht funktionieren.

Um eine solche Gleichung zu lösen, braucht man einen Trick, die sogenannte quadratische Ergänzung.

Wer nur wissen will wie man eine quadratische Gleichung löst und nicht warum das funktioniert, kann dieses Kapitel überspringen und beim nächsten Kapitel Lösen einer quadratischen Gleichung mit der pq-Formel fortfahren.

Herleitung der pq-Formel

Zur Herleitung der pq-Formel muss man sich zunächst einmal die binomischen Formeln in Erinnerung rufen. Es reicht dazu die 1. binomische Formel aus. Dabei wird der Ausdruck a+b ein Binom genannt:

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) \\ {(a + b)}^{2} = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \\ {(a + b)}^{2} = a^{2} + a \cdot b + a \cdot b + b \cdot b \\ {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{matrix}

Die 1. binomische Formel lautet also:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Ersetzt man in dieser Formel a durch x ergibt sich:

$\begin{matrix} {(x + b)}^{2} = x^{2} + 2 x b + b^{2} = x^{2} + 2 b x + b^{2} \end{matrix}$

Wenn man nun schreibt:

${(x + b)}^{2} = z$ mit z gleich irgendeiner positiven Zahl oder 0,

dann kann man diese Gleichung ganz einfach durch das Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung lösen:

$\begin{matrix} {(x + b)}^{2} = z \\ \sqrt{{(x + b)}^{2}} = \sqrt{z} \end{matrix}$

Eine quadratische Gleichung hat im allgemeinen 2 Lösungen, da ja z.B. sowohl ${(-3)}^{2} = 9$ als auch ${(+3)}^{2} = 9$ ist.

Deshalb gilt jetzt allgemein weiter:

$\begin{matrix} (x + b) = - \sqrt{z} \\ x + b = - \sqrt{z} \\ x = - b - \sqrt{z} \end{matrix}$

Zurück zu der zu lösenden Gleichung

$x^{2} + px + q = 0$

Diese kann man umstellen zu:

$x^{2} + px = - q$

Ziel ist es jetzt, die linke Seite in die Form ${(x + ?)}^{2}$ zu bringen, um daraus wie vorhin gezeigt einfach die Quadratwurzel zu ziehen. Das Fragezeichen ? steht für einen Ausdruck, der im Folgenden moch bestimmt wird.

Vergleicht man den linken Teil der Gleichung

$x^{2} + px$

mit dem Ergebnis der 1. binomischen Formel:

$\begin{matrix} {(x + b)}^{2} = x^{2} + 2 b x + b^{2} \end{matrix}$

dann entspricht $p = 2 b$ , da beides vor dem x steht.

Durch Umstellen ergibt sich wiederum, dass $b = \frac{p}{2}$ ist.

Setzt man dies wiederum in die 1. binomische Formel ein, dann ergibt sich:

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + {(\frac{p}{2})}^{2} = x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2}$

Den rot markierten Ausdruck kann man jetzt in der zu lösenden Gleichung ergänzen, weshalb man ihn auch quadratische Ergänzung nennt:

$\begin{matrix} x^{2} + px = - q \\ x^{2} + px + 0 = - q \\ x^{2} + px + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q \end{matrix}$

Der grün markierte Ausdruck (also die negative quadratische Ergänzung) muss zusätzlich hinzugefügt werden damit insgesamt zu der linken Seite $+ {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = 0$

addiert wird, also die linke Seite der Gleichung nicht verändert wird. Das ist der eigentliche Trick.

Die folgende neue Einfärbung der Gleichung dient nur dem Verständnis, die Gleichung slebst ist gleich geblieben:

$x^{2} + px + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q$

Der blau markierte Ausdruck kann jetzt nach der 1. binomischen Formel als quadriertes Binom geschrieben werden. Der grün markierte Ausdruck kann durch Addieren auf die rechte Seite der Gleichung gebracht werden:

$\begin{matrix} x^{2} + px + {(\frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q \\ {(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2} = - q \\ {(x + \frac{p}{2})}^{2} = + {(\frac{p}{2})}^{2} - q \end{matrix}$

Jetzt muss noch auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen werden. Es ergeben sich jetzt zwei Lösungen (siehe oben):

$\begin{matrix} {(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q \\ \sqrt{{(x + \frac{p}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x + \frac{p}{2} = - \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x = - \frac{p}{2} - \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \end{matrix}$

Und diese beiden Gleichungen werden zusammengefasst pq-Formel genannt.

pq-Formel:

Die Gleichung $x^{2} + px + q = 0$ hat die beiden Lösungen $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Wenn Du jetzt auf "Weiter" klickst, kommst Du zu dem Kapitel "Lösen einer quadratischen Gleichung mit der pq-Formel". Dort wird die eben hergeleitete pq-Formel zum Lösen von quadratischen Gleichungen angewendet.

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