Lösen einer quadratischen Gleichung mit der pq-Formel

Wie in den vorherigen Kapiteln angesprochen, muss eine quadratische Gleichung für deren Lösung erst in die Normalform (siehe dazu das das Einstiegskapitel in das Thema "Quadratische Gleichungen")

$x^{2} + px + q = 0$

gebracht werden, wobei p und q Elemente der reellen Zahlen sind, also ganze Zahlen , Brüche, Kommazahlen, negativ, positiv oder 0 sein können.

Beispiele:

$x^{2} + 3x + 5 = 0$

mit p=3 und q=5 oder

$x^{2} - 3,4x - \frac{2}{3} = 0$

mit $p = - 3,4$ und $q = - \frac{2}{3}$

Jetzt könnte man versuchen diese Gleichung so zu lösen wie eine lineare Gleichung (ganzrationale Funktion 1. Grades). Das wird aber aufgrund des quadratischen Terms $x^{2}$ nicht funktionieren.

Eine Möglichkeit eine solche Gleichung zu lösen, ist das Anwenden der pq-Formel:

pq-Formel:

Die Gleichung $x^{2} + px + q = 0$ hat die beiden Lösungen $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Wen es interessiert warum diese Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen funktioniert, der/die möge sich das vorhergehende Kapitel Herleitung der pq-Formel einmal anschauen.

Anwendung der pq-Formel

Beispielhaft soll die folgende quadratische Gleichung in Normalform gelöst werden:

x^{2} + 2x - 15 = 0

Um die pq-Formel zu benutzen, muss die Gleichung in Normalform, sein, das heißt es gibt 1x² = x², die restlichen Terme sind nach der Größe ihrer Exponenten geordnet und auf der rechten Seite der Gleichung steht eine 0. Alle diese Bedingungen sind erfüllt.

Nun müssen p und q herausgefunden werden: Das p steht vor dem x. p ist also 2. Und das q steht ohne x direkt vor dem Gleichheitszeichen. q ist also -15, da +(-15) = -15 ist.
Diese beiden Werte p = 2 und q = -15 müssen jetzt in die pq-Formel eingesetzt werden:

\begin{matrix} x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1,2} = - \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (-15)} \\ x_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{{(1)}^{2} + 15} \\ x_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{1 + 15} \\ x_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{16} \\ x_{1,2} = - 1 \pm 4 \\ x_{1} = - 1 + 4 \\ x_{1} = 3 \\ \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix}

x = 3 und x = -5 sind also die beiden (verschiedenen) Lösungen der Gleichung

x^{2} + 2x - 15 = 0

Das bedeutet, wenn man x = 3 in die Gleichung einsetzt, kommt 0 heraus, aber es kommt auch 0 heraus, wenn x = -5 eingesetzt wird:

3² + 2 · 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 15 - 15 = 0

ODER

(-5)² + 2 · (-5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 15 - 15 = 0

Bei diesem Beispiel hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene Lösungen. Dies ist aber nicht bei allen quadratischen Gleichungen der Fall. Es gibt auch quadratische Gleichungen mit keiner Lösung und quadratische Gleichungen mit nur einer bzw. einer doppelten Lösung.

Aufgabe

Wundere Dich nicht, dass bei der folgenden Aufgabe schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du Dein Ergebnis berechnet hast, klicke unten auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

$2 x^{2} + 5x + 2 = 0$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müssten die Lösungen x = -0,5 und x = -2 herauskommen.

Hinweis 1

Überprüfe zunächst, ob die Gleichung in Normalform ist.

Hinweis 2

Die Gleichung ist noch nicht in Normalform, da in der Gleichung 2x² und nicht x² steht. Die Gleichung muss also erst in Normalform gebracht werden.

Hinweis 3

Deshalb muss die Gleichung durch 2 geteilt werden.

Hinweis 4

Wenn die Gleichung durch 2 geteilt wird, ist das Ergebnis:

$x^{2} + 2,5x + 1 = 0$

Die Gleichung ist jetzt in Normalform.

Hinweis 5

Jetzt musst Du herausfinden, was in dieser Gleichung p und q ist.

Hinweis 6

p = 2,5 , weil es vor dem x steht.
q = 1 , weil es ohne x steht.

Hinweis 7

p = 2,5 und q = 1 müssen jetzt in die pq-Formel

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ eingesetzt werden.

Hinweis 8

$x_{1,2} = - \frac{2,5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2,5}{2})}^{2} - 1}$

Hinweis 9

$x_{1,2} = - 1,25 \pm \sqrt{{1,25}^{2} - 1}$

Hinweis 10

$x_{1,2} = - 1,25 \pm \sqrt{1,5625 - 1}$

Hinweis 11

$x_{1,2} = - 1,25 \pm \sqrt{0,5625}$

Hinweis 12

$x_{1,2} = - 1,25 \pm 0,75$

Hinweis 13

Das ergibt jetzt zwei Lösungen x₁ und x₂, indem die 0,75 einmal zur -1,25 addiert und einmal von der -1,25 abgezogen wird.

Hinweis 14

$x_{1} = - 1,25 + 0,75$

Hinweis 15

$x_{1} = - 0,5$

Lösung

$\begin{matrix} 2 x^{2} + 5x + 2 = 0 \\ x^{2} + 2,5x + 1 = 0 \\ x_{1,2} = - \frac{2,5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2,5}{2})}^{2} - 1} \\ x_{1,2} = - 1,25 \pm \sqrt{{1,25}^{2} - 1} \\ x_{1,2} = - 1,25 \pm \sqrt{1,5625 - 1} \\ x_{1,2} = - 1,25 \pm \sqrt{0,5625} \\ x_{1,2} = - 1,25 \pm 0,75 \\ x_{1} = - 1,25 + 0,75 \\ x_{1} = - 0,5 \end{matrix}$

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