Quadratische Gleichungen mit nur einer Lösung

Wie im vorherigen Kapitel kurz angesprochen, muss eine quadratsche Gleichung nicht unbedingt 2 verschiedene Lösungen haben. sie kann auch nur eine (doppelte) Lösung haben.

Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden. Zu lösen sei die folgende quadratische Gleichung in Normalform.

$x^{2} - 4x + 4 = 0$

Bei dieser Gleichung ist p = -4 und q = 4. Diese beiden Werte müssen jetzt in die pq-Formel eingesetzt werden.

$\begin{matrix} x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1,2} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{-4}{2})}^{2} - 4} \\ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{{(-2)}^{2} - 4} \\ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{0} \\ x_{1,2} = 2 \pm 0 \\ x_{1} = 2 + 0 \\ x_{1} = 2 \\ \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$
x = 2 und x = 2 ergibt also zweimal die gleiche Lösung x = 2, weil der Ausdruck unter der Quadratwurzel 0 ergibt.

Die Gleichung

$x^{2} - 4x + 4 = 0$

hat also nur eine (doppelte) Lösung x = 2.

Aufgabe

Wundere Dich nicht, dass bei der folgenden Aufgabe schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du Dein Ergebnis berechnet hast, klicke unten auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

$7 + 2x = 2 - \frac{1}{5} x^{2}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Die (doppelte) Lösung ist x = -5.

Hinweis 1

Überprüfe zunächst, ob die Gleichung in Normalform ist.

Hinweis 2

Die Gleichung ist noch nicht in Normalform. Die Gleichung muss also erst in Normalform gebracht werden.

Hinweis 3

Dazu müssen alle Terme der Gleichung zunächst einmal auf die linke Seite der Gleichung gebracht werden.

Hinweis 4

Alle Terme der Gleichung auf eine Seite bringen:

$\begin{matrix} 7 + 2x = 2 - \frac{1}{5} x^{2} \\ 7 + 2x - 2 + \frac{1}{5} x^{2} = 0 \end{matrix}$

Hinweis 5

Jetzt sollten alle Terme mit x², mit x und ohne x zusammengefasst und nach Potenzen geordnet werden.

Hinweis 6

Alle Terme mit x², mit x und ohne x zusammengefasst und nach Potenzen geordnet:

$\begin{matrix} \frac{1}{5} x^{2} + 2x + 7 - 2 = 0 \\ \frac{1}{5} x^{2} + 2x + 5 = 0 \end{matrix}$

Hinweis 7

Damit die Gleichung $\begin{matrix} \frac{1}{5} x^{2} + 2x + 5 = 0 \end{matrix}$ in Normalform ist, muss aus $\frac{1}{5} x^{2}$ noch 1x² = x² gemacht werden.

Hinweis 8

Dazu muss die gesamte Gleichung entweder durch $\frac{1}{5}$ dividiert oder mit 5 multipliziert werden.

Hinweis 9

Es ist einfacher mit 5 zu multiplizieren. Deshalb wird das in der Folge auch gemacht:

$\begin{matrix} \frac{1}{5} x^{2} + 2x + 5 = 0 \\ 5 \cdot \frac{1}{5} x^{2} + 5 \cdot 2x + 5 \cdot 5 = 5 \cdot 0 \\ x^{2} + 10x + 25 = 0 \end{matrix}$

Jetzt ist die quadratische Gleichung in Normalform.

Hinweis 10

Jetzt musst Du herausfinden, was in dieser Gleichung p und q ist.

Hinweis 11

p = 10 , weil es vor dem x steht.
q = 25 , weil es ohne x steht.

Hinweis 12

p = 10 und q = 25 müssen jetzt in die pq-Formel

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ eingesetzt werden.

Hinweis 13

$x_{1,2} = - \frac{10}{2} \pm \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} - 25}$

Hinweis 14

$x_{1,2} = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 25}$

Hinweis 15

$x_{1,2} = - 5 \pm \sqrt{25 - 25}$

Hinweis 16

$x_{1,2} = - 5 \pm \sqrt{0}$

Hinweis 17

$x_{1,2} = - 5 \pm 0$

Hinweis 18

Das ergibt jetzt formal zwei Lösungen x₁ und x₂, indem die 0 einmal zur -5 addiert und einmal von der -5 abgezogen wird.

Hinweis 19

$x_{1} = - 5 + 0$

Hinweis 20

$x_{1} = - 5$

Es ergibt sich also eine (doppelte) Lösung x = -5, die die Gleichung

7 + 2x = 2 - \frac{1}{5} x^{2}

löst.

Lösung

$\begin{matrix} 7 + 2x = 2 - \frac{1}{5} x^{2} \\ 7 + 2x - 2 + \frac{1}{5} x^{2} = 0 \\ \frac{1}{5} x^{2} + 2x + 7 - 2 = 0 \\ \frac{1}{5} x^{2} + 2x + 5 = 0 \\ 5 \cdot \frac{1}{5} x^{2} + 5 \cdot 2x + 5 \cdot 5 = 5 \cdot 0 \\ x^{2} + 10x + 25 = 0 \\ x_{1,2} = - \frac{10}{2} \pm \sqrt{{(\frac{10}{2})}^{2} - 25} \\ x_{1,2} = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 25} \\ x_{1,2} = - 5 \pm \sqrt{25 - 25} \\ x_{1,2} = - 5 \pm \sqrt{0} \\ x_{1,2} = - 5 \pm 0 \\ x_{1} = - 5 + 0 \\ x_{1} = - 5 \end{matrix}$

Es ergibt sich also eine (doppelte) Lösung x = -5, die die Gleichung

7 + 2x = 2 - \frac{1}{5} x^{2}

löst.

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