Quadratische Gleichungen mit keiner Lösung

Wie im vorherigen Kapitel kurz angesprochen, muss eine quadratische Gleichung nicht unbedingt 2 verschiedene Lösungen oder eine (doppelte) Lösung haben. Sie kann auch gar keine Lösung haben.

Dies soll an einem Beispiel verdeutlicht werden. Zu lösen sei die folgende quadratische Gleichung in Normalform.

$x^{2} + 3x + 4 = 0$

Bei dieser Gleichung ist p = 3 und q = 4. Diese beiden Werte müssen jetzt in die pq-Formel eingesetzt werden.

$\begin{matrix} x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1,2} = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 4} \\ x_{1,2} = -1,5 \pm \sqrt{{(-1,5)}^{2} - 4} \\ x_{1,2} = -1,5 \pm \sqrt{2,25 - 4} \\ x_{1,2} = -1,5 \pm \sqrt{-1,75} \\ \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$
Die Quadratwurzel aus einer negativen reellen Zahl kann nicht gezogen werden.

Die Gleichung

$x^{2} + 3x + 4 = 0$

hat also keine Lösung. Anders ausgedrückt: Es gibt keine reelle Zahl x, die in die Gleichung eingesetzt werden kann, so dass auf der rechten Seite 0 herauskommt.

Was soll das plötzlich mit den reellen Zahlen und warum kann keine Quadratwurzel aus negativen reellen Zahl gezogen werden?

Die reellen Zahlen umfassen alle ganzen Zahlen

{...,-2,-1,0,1,2,...}

, alle Bruchzahlen (Brüche) und alle irrationalen Zahlen, die nicht durch Brüche dargestellt werden können, z.B. π = 3,1415926535... oder

\sqrt{2}

= 1,414213562...
Vereinfacht könnte man sagen, dass es sich um alle ganzen Zahlen und um alle Kommazahlen handelt.

Unter den reellen Zahlen gibt es keine einzige Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ergibt. Es ergeben sich ja z.B. 2²=+4 und (-2)²=+4. Es ist also völlig egal, ob eine negative reelle Zahl oder eine positive reelle Zahl quadriert wird. Es ergibt sich immer eine positive Zahl oder 0 (wenn 0 quadriert wird).

Da das Quadratwurzelziehen die Umkehrfunktion des Quadrierens ist (z.B.

\sqrt{3^{2}} = \sqrt{9} = 3

), kann es umgekehrt keine negative reelle Zahl geben, die eine ähnliche Gleichung wie das vorherige Beispiel erfüllt. Z.B.

\sqrt{{(-3)}^{2}} = \sqrt{9} = 3

. Es kommt also nicht wieder -3 heraus.
Nebenbei: Es gibt über die reellen Zahl hinaus noch die sogenannten imaginären Zahlen, deren Quadrat dann doch eine negative reelle Zahl ist. Das würde aber an dieser Stelle zu weit führen und diese Zahlen werden in der Regeln in der Oberstufe nicht thematisiert. Die imaginären Zahlen werden erst in einem Studium (nicht nur der Mathematik) erläutert.

Aufgabe

Wundere Dich nicht, dass bei der folgenden Aufgabe schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du Dein Ergebnis berechnet hast, klicke unten auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

$2 x^{2} = - (2x + 1)$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es muss gezeigt werden, dass die Gleichung keine Lösung hat.

Hinweis 1

Überprüfe zunächst, ob die Gleichung in Normalform ist.

Hinweis 2

Die Gleichung ist noch nicht in Normalform. Die Gleichung muss also erst in Normalform gebracht werden.

Hinweis 3

Dazu muss zunächst die Klammer auf der rechten Seite der Gleichung aufgelöst und dann alle Terme der Gleichung auf die linke Seite der Gleichung gebracht werden.

Hinweis 4

Die Klammer auf der rechten Seite der Gleichung auflösen:

$\begin{matrix} 2 x^{2} = - (2x + 1) \\ 2 x^{2} = - 2x - 1 \end{matrix}$

Hinweis 5

$\begin{matrix} 2 x^{2} = - 2x - 1 \\ 2 x^{2} + 2x + 1 = 0 \end{matrix}$

Hinweis 6

Die Gleichung ist immer noch nicht in Normalform, da dort 2x² statt x² steht.

Hinweis 7

Die gesamte Gleichung muss also durch 2 dividiert werden.

Hinweis 8

$\begin{matrix} 2 x^{2} + 2x + 1 = 0 \\ x^{2} + x + 0,5 = 0 \end{matrix}$

Die quadratische Gleichung ist jetzt in Normalform.

Hinweis 9

Jetzt musst Du herausfinden, was in dieser Gleichung p und q ist.

Hinweis 10

$p = 1$ , weil $x = 1 x$ ist.
q = 0,5 , weil es ohne x steht.

Hinweis 11

p = 1 und q = 0,5 müssen jetzt in die pq-Formel

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ eingesetzt werden.

Hinweis 12

$x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - 0,5}$

Hinweis 13

$x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{{0,5}^{2} - 0,5}$

Hinweis 14

$x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{0,25 - 0,5}$

Hinweis 15

$x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{-0,25}$

Hinweis 16

Die Quadratwurzel aus der negativen Zahl -0,25 kann nicht gezogen werden. Deshalb hat die Gleichung $2 x^{2} = - (2x + 1)$ keine Lösung.

Lösung

$\begin{matrix} 2 x^{2} = - (2x + 1) \\ 2 x^{2} = - 2x - 1 \\ 2 x^{2} + 2x + 1 = 0 \\ x^{2} + x + 0,5 = 0 \\ x_{1,2} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - 0,5} \\ x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{{(0,5)}^{2} - 0,5} \\ x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{0,25 - 0,5} \\ x_{1,2} = - 0,5 \pm \sqrt{- 0,25} \end{matrix}$

Die Quadratwurzel aus der negativen Zahl -0,25 kann nicht gezogen werden. Deshalb hat die Gleichung $2 x^{2} = - (2x + 1)$ keine Lösung.

Wenn Du bis jetzt alles zum Thema "Quadratische Gleichungen" durchgearbeitet hast und dies verstanden hast, müsstest Du in der Lage sein alle quadratischen Gleichungen lösen zu können. Vielleicht stutzt Du aber, wenn Du eine Gleichung lösen willst, die z.B. folgendermaßen aussieht:

$x^{2} - 3x = 0$

Diese Gleichung hat ja gar kein q, fragst Du Dich vielleicht. Wenn Du jetzt auf "Weiter" klickst, kommst Du zum Kapitel "Quadratische Gleichungen, in denen kein q vorkommt".

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