Quadratische Gleichungen, in denen kein q vorkommt.

Wie im vorherigen Kapitel kurz angesprochen, scheint es auch quadratische Gleichungen zu geben, bei denen das q fehlt, wie z.B.

$x^{2} - 3x = 0$

Es gibt zwar ein p = -3, es gibt aber scheinbar kein q, so dass sich für die Lösung der Gleichung die pq-Formel nicht anwenden lässt.

Stimmt das wirklich? Gibt es wirklich kein q? Nein das stimmt nicht! Wenn man die Gleichung von eben folgendermaßen schreibt:

$x^{2} - 3x + 0 = 0$

dann wird an der Gleichung ja nichts geändert, denn das Addieren der 0, könnte auch weggelassen werden. Aber das vorher versteckte q wird sichtbar. Es ist nämlich $q = 0$ .

Bei dieser Gleichung müssen also p = -3 und q = 0 in die pq-Formel eingesetzt werden.

$\begin{matrix} x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1,2} = - \frac{-3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{-3}{2})}^{2} - 0} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm \sqrt{{(-1,5)}^{2} - 0} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm \sqrt{2,25 - 0} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm \sqrt{2,25} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm 1,5 \\ x_{1} = 1,5 + 1,5 \\ x_{1} = 3 \\ \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$
x = 3 und x = 0 sind also die beiden (verschiedenen) Lösungen der Gleichung $x^{2} - 3x = 0$

Aufgabe

Wundere Dich nicht, dass bei der folgenden Aufgabe schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du Dein Ergebnis berechnet hast, klicke unten auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:

$-15 x = 3x^{2}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es muss gezeigt werden, dass die Gleichung die Lösungen x = 0 und x = -5 hat.

Hinweis 1

Überprüfe zunächst, ob die Gleichung in Normalform ist.

Hinweis 2

Die Gleichung ist noch nicht in Normalform. Die Gleichung muss also erst in Normalform gebracht werden.

Hinweis 3

Dazu könnte man die 3x² auf die linke Seite bringen oder zur Abwechslung mal die -15x auf die rechte Seite.

Hinweis 4

15x auf die rechte Seite der Gleichung bringen:

$\begin{matrix} -15 x = 3x^{2} \\ 0 = 3x^{2}+15x \end{matrix}$

Hinweis 5

Der Übersichtlichkeit halber können beide Seite der Gleichung getauscht werden:

$\begin{matrix} 0 = 3x^{2}+15x \\ 3 x^{2} + 15 x = 0 \end{matrix}$

Hinweis 6

Die Gleichung ist immer noch nicht in Normalform, da dort 3x² statt x² steht.

Hinweis 7

Die gesamte Gleichung muss also durch 3 dividiert werden.

Hinweis 8

$\begin{matrix} 3 x^{2} + 15 x = 0 \\ x^{2} + 5 x = 0 \end{matrix}$

Die quadratische Gleichung ist jetzt in Normalform.

Hinweis 9

Jetzt musst Du herausfinden, was in dieser Gleichung p und q ist.

Hinweis 10

p = 5 und q = 0, da q nicht explizit da steht.

Hinweis 11

p = 5 und q = 0 müssen jetzt in die pq-Formel

$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$ eingesetzt werden.

Hinweis 12

$x_{1,2} = - \frac{5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 0}$

Hinweis 13

$x_{1,2} = - 2,5 \pm \sqrt{{2,5}^{2} - 0}$

Hinweis 14

$x_{1,2} = - 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 0}$

Hinweis 15

$x_{1,2} = - 2,5 \pm \sqrt{6,25}$

Hinweis 16

$x_{1,2} = - 2,5 \pm 2,5$

Hinweis 17

$x_{1} = - 2,5 + 2,5$

Hinweis 18

$x_{1} = 0$

Lösung

$\begin{matrix} -15 x = 3x^{2} \\ 0 = 3x^{2}+15x \\ 3 x^{2} + 15 x = 0 \\ x^{2} + 5 x = 0 \\ x_{1,2} = - \frac{5}{2} \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 0} \\ x_{1,2} = - 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 0} \\ x_{1,2} = - 2,5 \pm \sqrt{6,25} \\ x_{1,2} = - 2,5 \pm 2,5 \\ x_{1} = - 2,5 + 2,5 \\ x_{1} = 0 \end{matrix}$

Jetzt ist noch eins zu klären. Was ist mit einer quadratischen Gleichung, die z.B. folgendermaßen aussieht:

$x^{2} - 9 = 0$

Diese Gleichung hat zwar ein q, aber kein p. Wenn Du jetzt auf "Weiter" klickst, kommst Du zum Kapitel "Quadratische Gleichungen, in denen kein p vorkommt".

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