Quadratische Gleichungen, in denen kein p vorkommt.

Wie im vorherigen Kapitel kurz angesprochen, gibt es auch quadratische Gleichungen, bei denen das p fehlt, wie z.B.

$x^{2} - 9 = 0$

Es gibt zwar ein q = 9, es gibt aber scheinbar kein p, so dass sich für die Lösung der Gleichung die pq-Formel nicht anwenden lässt.

Stimmt das wirklich? Gibt es wirklich kein p? Nein das stimmt nicht! Wenn man die Gleichung von eben folgendermaßen schreibt:

$x^{2} + 0 x - 9 = 0$

dann wird an der Gleichung ja nichts geändert, denn das Addieren der 0x, könnte auch weggelassen werden, da 0x = 0 ist. Aber das vorher versteckte p wird sichtbar. Es ist nämlich $p = 0$ .

Bei dieser Gleichung müssen also p = 0 und q = -9 in die pq-Formel eingesetzt werden.

$\begin{matrix} x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1,2} = - \frac{0}{2} \pm \sqrt{{(\frac{0}{2})}^{2} - (-9)} \\ x_{1,2} = 0 \pm \sqrt{{(0)}^{2} + 9} \\ x_{1,2} = 0 \pm \sqrt{0 + 9} \\ x_{1,2} = 0 \pm \sqrt{9} \\ x_{1,2} = 0 \pm 3 \\ x_{1} = 0 + 3 \\ x_{1} = 3 \\ \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$
x = 3 und x = -3 sind also die beiden (verschiedenen) Lösungen der Gleichung. $x^{2} - 9 = 0$

Es geht aber auch einfacher

Wenn p = 0 ist, dann ist das Lösen einer quadratischen Gleichung ganz einfach. Dazu wird die pq-Formel nicht benötigt:

x^{2} - 9 = 0

Es lässt sich einfach die 9 auf die rechte Seite der Gleichung bringen:

x^{2} = + 9

x^{2} = 9

Und jetzt die Quadratwurzel ziehen:

x_{1,2} = \pm \sqrt{9}

x_{1,2} = \pm 3

x_{1} = 3

Dieser Rechenweg ist wesentlich schneller als der mit der pq-Formel und sollte deshalb bei quadratischen Gleichung, bei denen der Term mit x fehlt, also p = 0 ist, benutzt werden.

Weil dies so einfach ist, wird hier auf eine weitere Übungsaufgaben verzichtet, aber ...

... was ist denn, wenn p = 0 ist und q = 0 ist?

Dann gilt die Gleichung:

x^{2} + 0 x + 0 = 0

x^{2} = 0

Und diese Gleichung hat immer die (doppelte) Lösung x = 0.

Herzlichen Glückwunsch, du hast dich jetzt durch das Kapitel "Quadratische Gleichungen" durchgekämpft. Wir hoffen Du fühlst Dich jetzt sicherer beim Lösen quadratischer Gleichungen. Wenn Du jetzt auf "Weiter" klickst, kommst Du wieder zur WuLf-Übersicht.

Webprogrammierung und Inhalt: Dr. Dag Pechtel