Thema: Gleichungen höherer Ordnung lösen

HINWEIS: Wer Schwierigkeiten mit Potenzen bzw. dem Rechnen mit Potenzen hat, sollte zunächst das Kapitel Potenzgesetze bearbeiten.

Eine Gleichung höherer Ordnung ist eine Gleichung, bei der die höchste vorkommende Potenz n von xⁿ größer als 2 ist (n > 2).

Beispiele:

$5 x^{3} + 2 x^{2} -4 = 0$ --> Hier ist n=3 die höchste Potenz.

$-5 x^{2} - 2 x^{4} + 8 x = 5$ --> Hier ist n=4 die höchste Potenz.

Dabei ist es völlig egal, ob die Gleichungen bereits nach 0 umgestellt sind oder die Vorkommen von x bereits nach Potenzgrößen sortiert sind.

Satz vom Nullprodukt

Wichtig für das Verständnis der Lösung von Gleichungen höherer Ordnung ist zunächst einmal der Satz vom Nullprodukt.

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Die folgende Multiplikation ergibt 0, da einer der Faktoren 0 ist:

$3 \cdot (-2) \cdot 0 \cdot (-1) \cdot 6 = 0$

Es reicht, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist, damit das Ergebnis 0 wird.

Verallgemeinert: Welche Werte müssen die Faktoren a, b, c, d, e in der folgenden Gleichung annehmen, damit das Ergebnis 0 ergibt?

$a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e = 0$

Es reicht, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist:

$0 \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e = 0$

oder

$a \cdot 0 \cdot c \cdot d \cdot e = 0$

oder

$a \cdot b \cdot 0 \cdot d \cdot e = 0$

oder

$a \cdot b \cdot c \cdot 0 \cdot e = 0$

oder

$a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot 0 = 0$

Diese Erkenntnis kann auch auf die Multiplikation von Ausdrücken in Klammern ausgeweitet werden, z.B.:

$m \cdot (n + p) \cdot (r - s) = 0$

Es gibt hier 3 Faktoren: m, (n+p) und (r-s)

Es reicht auch hier, wenn einer dieser 3 Faktoren 0 wird:

$0 \cdot (n + p) \cdot (r - s) = 0$ --> hier ist m=0

$m \cdot 0 \cdot (r - s) = 0$ --> hier ist n + p = 0

$m \cdot (n + p) \cdot 0 = 0$ --> hier ist r - s = 0

Wichtig bei den Klammerfaktoren ist, dass jeweils der gesamte Klammerausdruck 0 ist und nicht nur ein Teil des Klammerausdrucks!
Beispiel für (n + p):

$0 + p = p$

Es kommt etwas anderes als 0 heraus, wenn p ≠ 0 ist (≠ bedeutet ungleich bzw. nicht gleich).

oder

$n + 0 = n$

Es kommt etwas anderes als 0 heraus, wenn n ≠ 0 ist.

Nur wenn n = -p bzw. -n = p oder n = 0 und p = 0, ist das Ergebnis von n + p = 0.

Beispiel: Wenn p = 5 und n = -p = -5 , dann ergibt n + p = -5 + 5 = 0.

Vorbereitungen zum Lösen von Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt

Damit Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden können, müssen die Gleichungen zunächst so umgestellt werden, dass auf einer der beiden Seiten der Gleichung eine 0 steht. Wenn Du Dir unsicher beim Umstellen von Gleichungen bist, dann bearbeite die Kapitel Lineare Gleichungen und Quadratische Gleichungen, da dort auch das Umstellen von Gleichungen thematisiert wird.
In einem zweiten vorbereitenden Schritt ist es sinnvoll (aber nicht unbedingt notwendig) die Gleichung nach der Größe der Potenzen von x zu ordnen, wobei die größeren Potenzen links stehen.

Beispiel:

\begin{matrix} 8 x^{6} = -10 x^{5} + 2 x^{7} \\ 8 x^{6} + 10 x^{5} - 2 x^{7} = -10 x^{5} + 10 x^{5} + 2 x^{7} - 2 x^{7} \\ 8 x^{6} + 10 x^{5} - 2 x^{7} = 0 \\ - 2 x^{7} + 8 x^{6} + 10 x^{5} = 0 \end{matrix}

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, dann geht es mit dem Lösen von Gleichungen höherer Ordnung weiter.

Also jetzt geht's richtig los. Klicke auf "Weiter".

Webprogrammierung und Inhalt: Dr. Dag Pechtel