Aufgabenstellung 1 zu Gleichungen höherer Ordnung durch Ausklammern lösen

Löse die Gleichung $x^{4} = 9 x^{2}$ durch Ausklammern.

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müssten folgende Lösungen für x herauskommen: x_1,2 = 0 , x₃ = -3 , x₄ = 3

Hinweis 1

Zuerst muss diese Gleichung umgestellt werden, so dass auf der rechten Seite eine 0 steht.

Hinweis 2

$\begin{matrix} x^{4} - 9 x^{2} = 9 x^{2} - 9 x^{2} \\ x^{4} - 9 x^{2} = 0 \end{matrix}$

Hinweis 3

Nun musst Du Dir überlegen, ob Du ausklammern kannst und wenn ja, was Du alles ausklammern kannst.

Hinweis 4

Da es keinen Term ohne x gibt, kannst Du ausklammern.

Hinweis 5

Wende die Potenzregeln für das Ausklammern an oder schreibe die Potenzen von x als Produkt und überlege Dir wie viele x Du ausklammern kannst.

Hinweis 6a

Die niedrigste Potenz von x ist 2, d.h. Du kannst $x^{2}$ ausklammern.

Hinweis 6b

Oder vielleicht hilft folgende Überlegung weiter:

$\begin{matrix} x^{4} - 9 x^{2} = 0 \\ x \cdot x \cdot x \cdot x - 9 \cdot x \cdot x = 0 \end{matrix}$

Hinweis 7a

\begin{matrix} x^{4} - 9 x^{2} = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9 \cdot 1) = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9) = 0 \end{matrix}

Hinweis 7b

In jedem der durch das Minuszeichen getrennten Terme kommen mindestens zwei x vor, die ausgeklammert werden können:

$\begin{matrix} x \cdot x \cdot x \cdot x - 9 \cdot x \cdot x = 0 \\ x \cdot x \cdot (x \cdot x \cdot 1 \cdot 1 - 9 \cdot 1 \cdot 1) = 0 \\ x \cdot x \cdot (x \cdot x - 9) = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9) = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9) = 0 \end{matrix}$

Hinweis 8

Jetzt müssen die einzelnen Faktoren identifiziert werden. Welche relevanten Faktoren gibt es nach Ausklammerung in der Gleichung?

Hinweis 9

Es gibt die beiden relevanten Faktoren:

$x^{2}$

und

$x^{2} - 9$

Hinweis 10

Welchen Wert müssen jeweils die beiden Faktoren annehmen, damit die Gleichung nach der Ausklammerung auf der rechten Seite eine 0 hat?

Hinweis 11

Sie müssen jeweils den Wert 0 annehmen.

Hinweis 12

Es ergeben sich dann die beiden folgenden Gleichungen:

$x^{2} = 0$

und

$x^{2} - 9 = 0$

Hinweis 13

Die erste der beiden Gleichungen ist leicht zu lösen:

$x^{2} = 0$

ergibt die doppelte Lösung $x = 0$ , also $x_{1} = x_{2} = 0$

Hinweis 14

Die zweite der beiden Gleichungen $x^{2} - 9 = 0$ ist auch nicht schwer zu lösen. Man benötigt dafür nicht einmal die pq-Formel.

Wenn Du nicht darauf kommst, schaue Dir noch einmal das folgende Kapitel an: Quadratische Gleichungen, in denen kein p vorkommt, an.

Hinweis 15

$\begin{matrix} x^{2} - 9 = 0 \\ x^{2} - 9 + 9 = 0 + 9 \\ x^{2} = 9 \end{matrix}$

Hinweis 16

Mit

$x^{2} = 9$

ergeben sich die beiden weiteren Lösungen von x:

$x_{3} = -3$ und $x_{4} = 3$

Hinweis 17

Zusammengefasst hat die Gleichung

$\begin{matrix} x^{4} - 9 x^{2} = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9) = 0 \end{matrix}$

die folgenden Lösungen von x:

$x_{1} = x_{2} = 0$ und $x_{3} = -3$ und $x_{4} = 3$

Kompletter Lösungsweg

$\begin{matrix} x^{4} = 9 x^{2} \\ x^{4} - 9 x^{2} = 9 x^{2} - 9 x^{2} \\ x^{4} - 9 x^{2} = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9 \cdot 1) = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 9) = 0 \end{matrix}$

Es ergeben sich die beiden folgenden zu lösenden Gleichungen:

$x^{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = 0$

und

$x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x_{3} = -3 und x_{4} = 3$

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, kannst Du erst noch eine weitere Aufgabe zum Lösen von Gleichungen höherer Ordnung durch Ausklammern selbst lösen.
Wundere Dich nicht, dass bei der folgenden Aufgabe schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du Dein Ergebnis berechnet hast, klicke unten auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

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