Aufgabenstellung 2 zu Gleichungen höherer Ordnung durch Ausklammern lösen

Zuerst muss diese Gleichung umgestellt werden, so dass auf der rechten Seite eine 0 steht.

$\begin{array}{c}{x}^3+x^2-2x=2x-2x\\ x^3+x^2-2x=0\end{array}$

Nun musst Du Dir überlegen, ob Du ausklammern kannst und wenn ja, was Du alles ausklammern kannst.

Da es keinen Term ohne x gibt, kannst Du ausklammern.

Wende die Potenzregeln für das Ausklammern an oder schreibe die Potenzen von x als Produkt und überlege Dir wie viele x Du ausklammern kannst.

Die niedrigste Potenz von x ist 1, d.h. Du kannst $x^1=x$ ausklammern.

Oder vielleicht hilft folgende Überlegung weiter:

$\begin{array}{c}{x}^3+x^2-2x=0\\ x·x·x+x·x-2·x=0\end{array}$

In jedem der durch das Minuszeichen getrennten Terme kommen mindestens zwei x vor, die ausgeklammert werden können:

$\begin{array}{c}x·x·x+x·x-2·x=0\\ x·(x·x·1+x·1-2·1)=0\\ x·(x·x+x-2)=0\\ x·(x^2+x-2)=0\end{array}$

Jetzt müssen die einzelnen Faktoren identifiziert werden. Welche relevanten Faktoren gibt es nach Ausklammerung in der Gleichung?

Es gibt die beiden relevanten Faktoren:

$x$

und

$x^2+x-2$

Welchen Wert müssen jeweils die beiden Faktoren annehmen, damit die Gleichung nach der Ausklammerung auf der rechten Seite eine 0 hat?

Sie müssen jeweils den Wert 0 annehmen.

Es ergeben sich dann die beiden folgenden Gleichungen:

$x=0$

und

$x^2+x-2=0$

Die erste der beiden Gleichungen ist leicht zu lösen:

$x=0$

ist schon die Lösung. Es ergibt sich also die erste Gleichung der Lösung $x=0$, also $x_1=0$

Die zweite der beiden Gleichungen $x^2+x-2=0$ ist eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel gelöst werden kann.

Wenn Du nicht darauf kommst, schaue Dir noch einmal das folgende Kapitel an: Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen an.

$\begin{array}{c}{x}^2+x-2=0\\ x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}\\ x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\left(\mathrm{-2}\right)}\\ x_{\mathrm{1,2}}=-\mathrm{0.5}\pm \sqrt{{\left(0.5\right)}^2+2}\\ x_{\mathrm{1,2}}=-0.5\pm \sqrt{0.25+2}\\ x_{\mathrm{1,2}}=-0.5\pm \sqrt{2.25}\\ x_{\mathrm{1,2}}=-0.5\pm 1.5\\ x_1=-0.5+1.5\text{;}{x}_2=-0.5-1.5\\ x_1=1\text{;}{x}_2=-2\\ \begin{array}{}\end{array}\end{array}$

Mit

$x^2+x-2=0$

ergeben sich die beiden weiteren Lösungen von x:

$x_2=1$ und $x_3=-2$

Zusammengefasst hat die Gleichung

$\begin{array}{c}{x}^3+x^2-2x=0\\ x·(x^2+x-2)=0\end{array}$

die folgenden Lösungen von x:

$x_1=0$ und $x_2=1$ und $x_3=-2$

Die erste der beiden Gleichungen ist leicht zu lösen:

$x=0$

ist schon die Lösung. Es ergibt sich also die erste Gleichung der Lösung $x=0$, also $x_1=0$

Die zweite der beiden Gleichungen $x^2+x-2=0$ ist eine quadratische Gleichung, die mit der pq-Formel gelöst werden kann.

Zusammengefasst hat die Gleichung

$\begin{array}{c}{x}^3+x^2-2x=0\\ x·(x^2+x-2)=0\end{array}$

die folgenden Lösungen von x:

$x_1=0$ und $x_2=1$ und $x_3=-2$