Thema: Gleichungen höherer Ordnung lösen

Gleichungen höherer Ordnung durch Substituieren (Ersetzen) lösen

Schau Dir mal die folgende Gleichung an:

0.5 x^{4} + 18 = 6.5 x^{2}

Es handelt sich um eine Gleichung höherer Ordnung, da der höchste Exponent von x in der Gleichung 4 ist:

Der Versuch die Gleichung durch Ausklammern zu lösen misslingt, da es einen Term in der Gleichung ohne x gibt.

0.5 x^{4} + 18 = 6.5 x^{2}

Hier der scheiternde Versuch:

\begin{matrix} 0.5 x^{4} + 18 = 6.5 x^{2} \\ 0.5 x^{4} + 18 -6.5x^{2}= 6.5 x^{2} - 6.5 x^{2} \\ 0.5 x^{4} - 6.5 x^{2} + 18 = 0 \\ (0.5 x^{4} - 6.5 x^{2} + 18) \cdot 2 = 0 \cdot 2 \\ x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0 \\ x^{2} \cdot (x^{2} - 13 + \frac{36}{x^{2}}) = 0 \end{matrix}

Es entsteht hier der Term

x^{2}

im Nenner und damit keine mit der pq-Formel zu lösende Gleichung in der Klammer.

Es gibt aber eine andere Möglichkeit die Gleichung

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

zu lösen.

Die Methode des Substituierens (Ersetzens):

Wir ersetzen jetzt mal den Term

x^{2}

durch den Buchstaben z. So dass gilt

z = x^{2}

Auf den ersten Blick ergibt sich dann die folgende Gleichung:

\begin{matrix} x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0 \\ x^{4} - 13 z + 36 = 0 \end{matrix}

Im Moment haben wir noch nicht viel gewonnen. Es sieht eher so aus als wäre die Gleichung jetzt noch komplizierter geworden und wir hätten jetzt nicht nur eine Unbekannte x, sondern zusätzlich noch die Unbekannte z.

Bei näherem Hinsehen lässt sich aber der Term

x^{4}

in der Gleichung nach den Potenzregeln als

x^{2} \cdot x^{2}

schreiben und es folgt:

\begin{matrix} x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0 \\ x^{2} \cdot x^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0 \\ z \cdot z - 13 z + 36 = 0 \\ z^{2} - 13 z + 36 = 0 \end{matrix}

Es ergibt sich also die quadratische Gleichung:

\begin{matrix} z^{2} - 13 z + 36 = 0 \end{matrix}

mit der Unbekannten z statt x in der Ursprungsgleichung. Wie der Buchstabe der Unbekannten heißt, ist aber egal, um die pq-Formel für die Lösung einer quadratischen Gleichung anzuwenden:

\begin{matrix} z^{2} - 13 z + 36 = 0 \\ z_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ z_{1,2} = - \frac{-13}{2} \pm \sqrt{{(\frac{-13}{2})}^{2} - 36} \\ z_{1,2} = 6.5 \pm \sqrt{{(-6.5)}^{2} - 36} \\ z_{1,2} = 6.5 \pm \sqrt{42.25 - 36} \\ z_{1,2} = 6.5 \pm \sqrt{6.25} \\ z_{1,2} = 6.5 \pm 2.5 \\ z_{1} = 6.5 + 2.5 \\ z_{1} = 9 \\ \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix}

z_{1} = 9

und

z_{2} = 4

sind also die Lösungen der Gleichung

z^{2} - 13 z + 36 = 0

, aber noch nicht der Ursprungsgleichung

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

Rückeinsetzen
Es wurde ja ganz am Anfang

x^{2}

durch

z

ersetzt. Jetzt muss also

x^{2}

z

rückeingesetzt werden, um die eigentlich gesuchten Lösungen für x zu berechnen:

\begin{matrix} z = x^{2} \\ z_{1} = {x_{1}}^{2} = 9 \Rightarrow x_{1a} = -3 und x_{1b} = 3 \\ z_{2} = {x_{2}}^{2} = 4 \Rightarrow x_{2a} = -2 und x_{2b} = 2 \end{matrix}

Die ursprüngliche Gleichung

\begin{matrix} 0.5 x^{4} + 18 = 6.5 x^{2} \\ 0.5 x^{4} - 6.5 x^{2} + 18 = 0 \\ x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0 \end{matrix}

hat also die vier Lösungen

x = -3 oder x = -2 oder x = 2 oder x = 3

Ein weiteres Beispiel:

Zu lösen sei die Gleichung:

$27 x^{6} - 1 = 26 x^{3}$

Auch hier ist die höchste Potenz 6 von x ein ganzzahliges Vielfaches der anderen Potenz 3 von x, nämlich das 2-fache. Desweiteren ist nur noch der Term 1 ohne x in der Gleichung vorhanden. Dies ist ein Indiz dafür, dass diese Gleichung mit Hilfe der Substitutionmethode gelöst werden kann. Hier der Rechenweg:

$\begin{matrix} 27 x^{6} - 1 = 26 x^{3} \\ 27 x^{6} - 26 x^{3} - 1 = 0 \\ x^{6} - \frac{26}{27} x^{3} - \frac{1}{27} = 0 \\ Ersetze: z = x^{3} \\ z^{2} - \frac{26}{27} z - \frac{1}{27} = 0 \\ z_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ z_{1,2} = - \frac{-26}{54} \pm \sqrt{{(\frac{-26}{54})}^{2} + \frac{1}{27}} \\ z_{1,2} = \frac{13}{27} \pm \sqrt{{(\frac{-13}{27})}^{2} + \frac{1}{27}} \\ z_{1,2} = \frac{13}{27} \pm \sqrt{\frac{169}{729} + \frac{27}{729}} \\ z_{1,2} = \frac{13}{27} \pm \sqrt{\frac{196}{729}} \\ z_{1,2} = \frac{13}{27} \pm \frac{14}{27} \\ z_{1} = \frac{13}{27} + \frac{14}{27} \\ z_{1} = \frac{27}{27} \\ z_{1} = 1 \\ Rückeinsetzen: x^{3} = z \\ {x_{1}}^{3} = z_{1} = 1 \Rightarrow x_{1} = 1 \\ {x_{2}}^{3} = z_{2} = - \frac{1}{27} \Rightarrow x_{2} = - \frac{1}{3} \\ \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$
Die Gleichung $27 x^{6} - 1 = 26 x^{3}$ hat die beiden Lösungen $x = - \frac{1}{3}$ und $x = 1$ .

Zusammenfassung:

Das Substitutionsverfahren (Einsetzungsverfahren) lässt sich immer dann anwenden, wenn eine Gleichung höheren Grades durch die Substitutionsmethode einer Potenz auf eine quadratische Gleichung reduzierbar ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Gleichungen folgenden Aufbau haben. Dafür müssen die Gleichungen erst so umgestellt werden, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine 0 steht und die einzelnen Terme nach der Größe der Exponenten von links nach rechts geordnet sind:

$\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \\ a ({x^{p})}^{2} + b x^{p} + c = 0 \\ z = x^{p} \\ a z^{2} + b z + c = 0 \end{matrix}$

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