Aufgabenstellung 1 zu Gleichungen höherer Ordnung durch Substituieren lösen

Löse die Gleichung $5 =6x^{2} - x^{4}$ durch Substituieren.

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müssten folgende Lösungen für x herauskommen: x₁ = $- \sqrt{5}$ , x₂ = -1 , x₃ = 1 , x₄ = $\sqrt{5}$

Hinweis 1

Zuerst muss diese Gleichung umgestellt werden, so dass auf der rechten Seite eine 0 steht.

Hinweis 2

$\begin{matrix} 5 = -6 x^{2} - x^{4} \\ 5 + 6 x^{2} + x^{4} = -6 x^{2} + 6 x^{2} - x^{4} + x^{4} \\ 5 + 6 x^{2} + x^{4} = 0 \\ x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0 \end{matrix}$

Hinweis 3

Das Substitutionsverfahren (Einsetzungsverfahren) lässt sich immer dann anwenden, wenn eine Gleichung höheren Grades durch die Substitutionsmethode einer Potenz auf eine quadratische Gleichung reduzierbar ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Gleichungen folgenden Aufbau haben:

\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \end{matrix}

Hinweis 4

Für a=1, b=6, c=5 und, ganz entscheidend, für p=2 ist das der Fall:

\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \\ 1 x^{2 \cdot 2} + 6 x^{2} + 5 = 0 \\ ({x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 5 = 0 \end{matrix}

Hinweis 5

Ersetze $x^{2}$ durch z.

Hinweis 6

Es ergibt sich:

\begin{matrix} z^{2} + 6 z + 5 = 0 \end{matrix}

Hinweis 7

Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z.

Hinweis 8

Diese quadratische Gleichung kann mit der pq-Formel nach z aufgelöst werden.

Hinweis 9

\begin{matrix} z^{2} + 6 z + 5 = 0 \\ z_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ z_{1,2} = - \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - 5} \\ z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{{(3)}^{2} - 5} \\ z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} \\ z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{4} \\ z_{1,2} = 3 \pm 2 \\ z_{1} = 3 + 2 \\ z_{1} = 5 \end{matrix}

Hinweis 10

In diese beiden Lösungen von z muss jetzt $x^{2}$ rückeingesetzt werden.

Hinweis 11

Es gilt also ${x_{1}}^{2} = 5$ und ${x_{2}}^{2} = 1$

Hinweis 12

Daraus ergibt sich: $x_{11} = - \sqrt{5}$ und $x_{12} = + \sqrt{5}$ und $x_{21} = - 1$ und $x_{22} = + 1$

Oder umsortiert:: $x_{1} = - \sqrt{5}$ und $x_{2} = - 1$ und $x_{3} = 1$ und $x_{4} = \sqrt{5}$

Kompletter Lösungsweg

Zuerst muss diese Gleichung umgestellt werden, so dass auf der rechten Seite eine 0 steht.

$\begin{matrix} 5 = -6 x^{2} - x^{4} \\ 5 + 6 x^{2} + x^{4} = -6 x^{2} + 6 x^{2} - x^{4} + x^{4} \\ 5 + 6 x^{2} + x^{4} = 0 \\ x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0 \end{matrix}$

\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \end{matrix}

Für a=1, b=6, c=5 und, ganz entscheidend, für p=2 ist das der Fall:

\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \\ 1 x^{2 \cdot 2} + 6 x^{2} + 5 = 0 \\ ({x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 5 = 0 \end{matrix}

Ersetze $x^{2}$ durch z.

Es ergibt sich:

\begin{matrix} z^{2} + 6 z + 5 = 0 \end{matrix}

Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z.

Diese quadratische Gleichung kann mit der pq-Formel nach z aufgelöst werden.

\begin{matrix} z^{2} + 6 z + 5 = 0 \\ z_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ z_{1,2} = - \frac{6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - 5} \\ z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{{(3)}^{2} - 5} \\ z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} \\ z_{1,2} = 3 \pm \sqrt{4} \\ z_{1,2} = 3 \pm 2 \\ z_{1} = 3 + 2 \\ z_{1} = 5 \end{matrix}

In diese beiden Lösungen von z muss jetzt $x^{2}$ rückeingesetzt werden.

Es gilt also ${x_{1}}^{2} = 5$ und ${x_{2}}^{2} = 1$

Daraus ergibt sich: $x_{11} = - \sqrt{5}$ und $x_{12} = + \sqrt{5}$ und $x_{21} = - 1$ und $x_{22} = + 1$

Oder umsortiert:: $x_{1} = - \sqrt{5}$ und $x_{2} = - 1$ und $x_{3} = 1$ und $x_{4} = \sqrt{5}$

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