Aufgabenstellung 2 zu Gleichungen höherer Ordnung durch Substituieren lösen

Berechne die Nullstellen der Funktion $f (x) = - x^{6} + 8 x^{3}$ durch Substituieren.

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müssten folgende Lösungen für x herauskommen: x₁ = 0 und x₂ = 2

Hinweis 1

Bei Nullstellen ist der Funktionswert 0.

Hinweis 2

Das bedeutet, dass man die Funktionsgleichung gleich 0 setzen muss: f(x) = 0

Hinweis 3

Es muss also gelten: $- x^{6} + 8 x^{3} = 0$

Hinweis 4

Das Substitutionsverfahren (Einsetzungsverfahren) lässt sich immer dann anwenden, wenn eine Gleichung höheren Grades durch die Substitutionsmethode einer Potenz auf eine quadratische Gleichung reduzierbar ist. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Gleichungen folgenden Aufbau haben:

\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \end{matrix}

Hinweis 5

Für a = -1, b = 8, c = 0 und, ganz entscheidend, für p=3 ist das der Fall:

\begin{matrix} a x^{2p} + b x^{p} + c = 0 \\ -1 x^{2 \cdot 3} + 8 x^{3} + 0 = 0 \\ - x^{3 \cdot 2} + 8 x^{3} = 0 \\ - x^{6} + 8 x^{3} = 0 \end{matrix}

Hinweis 6

Nun lässt sich x³ durch z ersetzen:

$\begin{matrix} - x^{3 \cdot 2} + 8 x^{3} = 0 \\ - ({x^{3})}^{2} + 8 x^{3} = 0 \\ - z^{2} + 8 z = 0 \end{matrix}$

Hinweis 7

Jetzt lässt sich entweder z ausklammern oder die pq-Formel anwenden.

Hinweis 8a

Durch Ausklammern:

\begin{matrix} - z^{2} + 8 z = 0 \\ - z \cdot (z - 8) = 0 \\ - z = 0 oder z - 8 = 0 \\ z = 0 oder z = + 8 \\ z_{1} = 0 \end{matrix}

Hinweis 8b

Mit pq-Formel:

\begin{matrix} - z^{2} + 8 z = 0 \\ z^{2} - 8 z = 0 \\ z_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ z_{1,2} = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{{(\frac{-8}{2})}^{2} - 0} \\ z_{1,2} = 4 \pm \sqrt{{(-4)}^{2}} \\ z_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16} \\ z_{1,2} = 4 \pm 4 \\ z_{1} = 4 + 4 \\ z_{1} = 8 \end{matrix}

Hinweis 9

In die beiden Lösungen von z muss jetzt $x^{3}$ rückeingesetzt werden.

Hinweis 10

Es gilt also ${x_{1}}^{3} = 0$ und ${x_{2}}^{3} = 8$

Hinweis 11

Daraus ergeben sich die beiden Lösungen: $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 2$

Kompletter Lösungsweg

\begin{matrix} f (x) = 0 \\ - x^{6} + 8 x^{3} = 0 \\ - x^{3 \cdot 2} + 8 x^{3} = 0 \\ - ({x^{3})}^{2} + 8 x^{3} = 0 \\ - z^{2} + 8 z = 0 \\ - z \cdot (z - 8) = 0 \\ - z = 0 oder z - 8 = 0 \\ z = 0 oder z = + 8 \\ z_{1} = 0 \\ {x_{1}}^{3} = 0 \\ x_{1} = 0 \end{matrix}

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