Thema: Aufgabenstellungen zur Ableitung verketteter Funktionen

HINWEIS: Im folgenden werden 4 Aufgaben zur Ableitung verketteter Funktionen gestellt. Dabei wird zunächst die Aufgabe gestellt. Versuche zunächst die Aufgabe ohne jeglichen Hinweis zu lösen. Klappe dann die Lösung auf und vergleiche mit Deiner Lösung. Wenn du das Ergebnis nicht richtig hast oder nicht selbst auf die Lösung kommst, dann klappe nach und nach die einzelnen Hinweise auf und versuche dann immer wieder selbstständig die Aufgabe zu lösen.

Aufgabe 1

Gegeben sei die folgende Funktion: $f (x) = {(2 x - 3)}^{2}$

Bestimme die Ableitung f '(x).

Lösung

f ' (x) = 4 \cdot (2 x - 3)

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere Funktion g(x) und innere Funktion h(x).

Hinweis 2

Äußere Funktion g(x):

g (x) = x^{2}

Innere Funktion h(x):

h (x) = 2 x - 3

Hinweis 3

Jetzt zunächst beide Funktionen ableiten.

Hinweis 4

Ableitungen der äußeren Funkion g(x) und der inneren Funktion h(x):

\begin{matrix} g' (x) = 2 x^{2 - 1} = 2 x^{1} = 2 x \\ h' (x) = 1 \cdot 2 x^{1 - 1} - 0 = 2 x^{0} = 2 \cdot 1 = 2 \end{matrix}

Hinweis 5

Jetzt die innere Funktion h(x) in die Ableitung der äußeren Funktion g'(x) einsetzen.

Hinweis 6

g'[h(x)] bestimmen:

g' [h (x)] = 2 \cdot (2 x - 3)

Hinweis 7

Zum Schluss noch g'[h(x)] mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Hinweis 8

g'[h(x)] · h'(x) bestimmen:

f ' (x) = 2 \cdot (2 x - 3) \cdot 2 = 4 \cdot (2 x - 3)

Aufgabe 2

Gegeben sei die folgende Funktion: $f (x) = - 2 {(4 x^{2} + 5 x)}^{3}$

Bestimme die Ableitung f '(x).

Lösung

f ' (x) = - 6 \cdot (4 x^{2} + 5 x)^{2} \cdot (8 x + 5)

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere Funktion g(x) und innere Funktion h(x).

Hinweis 2

Äußere Funktion g(x):

g (x) = - 2 x^{3}

Innere Funktion h(x):

h (x) = 4 x^{2} + 5 x

Hinweis 3

Jetzt zunächst beide Funktionen ableiten.

Hinweis 4

Ableitungen der äußeren Funktion g(x) und der inneren Funktion h(x):

\begin{matrix} g' (x) = 3 \cdot (- 2) \cdot x^{3 - 1} = - 6 x^{2} \\ h' (x) = 2 \cdot 4 x^{2 - 1} + 1 \cdot 5 x^{1 - 1} = 8 x^{1} + 5 x^{0} = 8 x + 5 \cdot 1 = 8 x + 5 \end{matrix}

Hinweis 5

Jetzt die innere Funktion h(x) in die Ableitung der äußeren Funktion g'(x) einsetzen.

Hinweis 6

g'[h(x)] bestimmen:

g' [h (x)] = - 6 \cdot {(4 x^{2} + 5 x)}^{2}

Hinweis 7

Zum Schluss noch g'[h(x)] mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Hinweis 8

g'[h(x)] · h'(x) bestimmen:

f ' (x) = - 6 \cdot {(4 x^{2} + 5 x)}^{2} \cdot (8 x + 5)

Aufgabe 3

Gegeben sei die folgende Funktion: $f (x) = - 4 \cdot e^{- 0.5 x}$

Bestimme die Ableitung f '(x).

Lösung

f ' (x) = 2 \cdot e^{- 0.5 x}

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere Funktion g(x) und die innere Funktion h(x).

Hinweis 2

Äußere Funktion g(x):

g (x) = - 4 e^{x}

Innere Funktion h(x):

h (x) = - 0.5 x

Hinweis 3

Jetzt beide Funktionen ableiten.

Hinweis 4

Ableitung der äußeren Funktion g'(x) und der inneren Funktion h'(x):

\begin{matrix} g' (x) = - 4 e^{x} \\ h' (x) = 1 \cdot (-0,5) x^{1 - 1} = -0,5 x^{0} = -0,5 \cdot 1 = - 0.5 \end{matrix}

Hinweis 5

Jetzt die innere Funktion h(x) in die Ableitung der äußeren Funktion g'(x) einsetzen.

Hinweis 6

g'[h(x)] bestimmen:

g' [h (x)] = - 4 \cdot e^{- 0.5 x}

Hinweis 7

Zum Schluss noch g'[h(x)] mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Hinweis 8

g'[h(x)] · h'(x) bestimmen:

f ' (x) = - 4 \cdot e^{- 0.5 x} \cdot (-0.5) = 2 \cdot e^{- 0.5 x}

Aufgabe 4

Gegeben sei die folgende Funktion: $f (x) = 3 e^{2 x^{2} - 4 x + 3}$

Bestimme die Ableitung f '(x).

Lösung

f' (x) = 12 \cdot (x - 1) \cdot e^{2 x^{2} - 4 x + 3}

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere Funktion g(x) und die innere Funktion h(x).

Hinweis 2

Äußere Funktion g(x):

g (x) = 3 e^{x}

Innere Funktion h(x):

h (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3

Hinweis 3

Jetzt beide Funktionen ableiten.

Hinweis 4

Ableitung der äußeren Funktion g'(x) und der inneren Funktion h'(x):

\begin{matrix} g^{'} (x) = 3 e^{x} \\ h^{'} (x) = 2 \cdot 2 x^{2 - 1} - 1 \cdot 4 x^{1 - 1} = 4 x^{1} - 4 x^{0} = 4 x - 4 \cdot 1 = 4 x - 4 \end{matrix}

Hinweis 5

Jetzt die innere Funktion h(x) in die Ableitung der äußeren Funktion g'(x) einsetzen.

Hinweis 6

g'[h(x)] bestimmen:

g^{'} [h (x)] = 3 e^{2 x^{2} - 4 x + 3}

Hinweis 7

Zum Schluss noch g'[h(x)] mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren.

Hinweis 8

g'[h(x)] ⋅ h'(x) bestimmen:

f' (x) = 3 e^{2 x^{2} - 4 x + 3} \cdot (4 x - 4) = 3 \cdot (4 x - 4) \cdot e^{2 x^{2} - 4 x + 3} = 3 \cdot 4 \cdot (x - 1) \cdot e^{2 x^{2} - 4 x + 3} = 12 \cdot (x - 1) \cdot e^{2 x^{2} - 4 x + 3}

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, dann kommst Du zu Erklärungen zur Produktregel, die zum Ableiten von Funktionen, die miteinander multipliziert werden, benötigt wird.

Webprogrammierung und Inhalt: Dr. Dag Pechtel