Thema: Differenzieren (Ableiten) verketteter Funktionen - Die Kettenregel

Wenn Funktionen verkettet, also ineinander verschachtelt sind, müssen diese mit der Kettenregel abgeleitet werden.

Die Kettenregel für die Ableitung einer verketteten Funktion lautet formal:

$\begin{array}{}v\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)\mathrm{v\text{'}}\left(x\right)=\left[f\right(g\left(x\right)\left)\right]\text{'}\mathrm{v\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{f\; \text{'}}\left(g\right(x\left)\right)·\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)\end{array}$

Oder in Textform: Eine verkettete Funktion v(x) wird abgeleitet, in dem die äußere Funktion f(x) unter Beibehaltung der inneren Funktion g(x) abgeleitet wird und dann mit der Ableitung der inneren Funktion g'(x) multipliziert wird.

Hmmm, klingt gut, aber wie macht man das jetzt genau.

Hier die Anleitung:

1. Feststellung der äußeren Funktion f(x) und der inneren Funktion g(x)
2. Die äußere und die innere Funktion einzeln ableiten: f '(x) und g'(x)
3. Die innere Funktion g(x) überall an die Stellen in die abgleitete äußere Funktion f '(x) einsetzen, an denen dort ein x vorkommt: f '(g(x))
4. f '(g(x)) mit g'(x) multiplizieren

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion
$v\left(x\right)={(3x^2-x)}^3$

1. Feststellen der äußeren Funktion f(x) und der inneren Funktion g(x):
$v\left(x\right)={\left(3x^2-x\right)}^3$

Das bedeutet:
$f\left(x\right)=x3$

und
$g\left(x\right)=3x^2-x=3x^2-x^1$

2. Die innere und die äußere Funktion einzeln ableiten:
$\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=3x^{3-1}=3x^2$

und
$\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)=2·3x^{2-1}-1·x^{1-1}=6x^1-x^0=6x-1$

Anmerkung: In der obigen Berechnung wird benutzt: $x^0=1$
Dies ergibt sich aus der Potenzregel (siehe dazu auch Potenzen mit gleiche Basis dividieren):

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Für m=n gilt hier:

$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}$

also $1=a^0$

3. Die innere Funktion g(x) überall an die Stellen in die abgleitete äußere Funktion f '(x) einsetzen, an denen dort ein x vorkommt: f '(g(x)):

$\begin{array}{}\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=3x^{2}g\left(x\right)=3x^2-x\end{array}$

Einsetzen von g(x) in f '(x):

$\mathrm{f\; \text{'}}\left(g\left(x\right)\right)=3·{\left(g\left(x\right)\right)}^2=3·{\left(3x^2-x\right)}^2$

Also:

$\mathrm{f\; \text{'}}\left(g\right(x\left)\right)=3·{(3x^2-x)}^2$

4. f '(g(x)) mit g'(x) multiplizieren:

$\begin{array}{}\mathrm{v\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{f\; \text{'}}\left(g\right(x\left)\right)·\mathrm{g\text{'}}\left(x\right)\mathrm{v\text{'}}\left(x\right)=3·{(3x^2-x)}^2·(6x-1)\end{array}$

Weiteres Beispiel:

Gegeben ist die Funktion
$v\left(x\right)=e^{-3x}$

1. Feststellen der äußeren Funktion f(x) und der inneren Funktion g(x):
$v\left(x\right)=e^{-3x}$

Das bedeutet:
$f\left(x\right)=e^x$

und
$g\left(x\right)=-3x=-3x^1$

2. Die innere und die äußere Funktion einzeln ableiten:
$\mathrm{f\; \text{'}}\left(x\right)=\left(e^x\right)\text{'}=e^x$

Regel: Die e-Funktion $e^x$ abgeleitet, ergibt wieder die gleiche e-Funktion $e^x$: $\left(e^x\right)\text{'}=e^x$

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