Thema: Differenzieren (Ableiten) verketteter Funktionen - Aufgaben zur Erstellung und der Analyse verketteter Funktionen?

HINWEIS: Im folgenden werden 4 Aufgaben zu verketteten Funktionen gestellt. Dabei wird zunächst die Aufgabe gestellt. Versuche zunächst die Aufgabe ohne jeglichen Hinweis zu lösen. Klappe dann die Lösung auf und vergleiche mit Deiner Lösung. Wenn du das Ergebnis nicht richtig hast oder nicht selbst auf die Lösung kommst, dann klappe nach und nach die einzelnen Hinweise auf und versuche dann immer wieder selbstständig die Aufgabe zu lösen.

Aufgabe 1

Gegeben seien die beiden folgenden Funktion: $f (x) = 4 x^{2}$ und $g (x) = x + 2$ .

f(x) ist die äußere Funktion und g(x) die innere Funktion. Bestimmen Sie die verkettete Funktion v(x).

Lösung

v (x) = 4 {(x + 2)}^{2}

Hinweis 1

Bestimme zunächst in der äußeren Funktion an wie vielen Stellen das x auftaucht.

Hinweis 2

Die äußere Funktion ist: $f (x) = 4 x^{2}$

Hinweis 3

Das x kommt nur einmal in der äußeren Funktion vor und ist rot markiert: $f (x) = 4 x^{2}$

Hinweis 4

Setze in die äußere Funktion an Stelle des x die innere Funktion g(x) ein. $v (x) = 4 {g (x)}^{2}$

Hinweis 5

$\begin{matrix} v (x) = 4 {g (x)}^{2} \\ v (x) = 4 {(x +2)}^{2} \end{matrix}$

Hinweis 6

Die verkettete Funktion lautet:
$\begin{matrix} v (x) = 4 {(x +2)}^{2} \end{matrix}$

Aufgabe 2

Gegeben seien die beiden folgenden Funktion: $f (x) = 2 x - 5$ und $g (x) = -3 e^{x}$

Bestimmen Sie die verkettete Funktion v(x) = g(f(x)).

Lösung

v (x) = -3 e^{2 x - 5}

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere und die innere Funktion.

Hinweis 2

f(x) ist die innere Funktion, da sie in die äußere Funktion g(x) als Funktionswert eingesetzt wird.

Hinweis 3

Bestimme zunächst in der äußeren Funktion g(x) an wie vielen Stellen das x auftaucht.

Hinweis 4

Die äußere Funktion ist: $g (x) = -3 e^{x}$

Hinweis 5

Das x kommt nur einmal in der äußeren Funktion g(x) vor und ist rot markiert: $g (x) = -3 e^{x}$

Hinweis 6

Setze in die äußere Funktion an Stelle des x die innere Funktion f(x) ein. $v (x) = -3 e^{f (x)}$

Hinweis 7

$\begin{matrix} v (x) = -3 e^{f (x)} \\ v (x) = -3 e^{2 x - 5} \end{matrix}$

Hinweis 8

Die verkettete Funktion lautet:
$\begin{matrix} v (x) = -3 e^{2 x - 5} \end{matrix}$

Aufgabe 3

Gegeben ist die verkettete Funktion: $v (x) = {(2 x + 5)}^{2}$

Bestimme die äußere und die innere Funktion von v(x).

Lösung

v (x) = f (g (x))

Äußere Funktion:

f (x) = x^{2}

Innere Funktion:

g (x) = 2 x + 5

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere und die innere Funktion.

Hinweis 2

Überlege Dir wie Du den Funktionswert von v(x) ausrechnen würdest, wenn Du in die Funktion einen x-Wert einsetzen würdest. Was würdest Du zuerst ausrechnen?

Hinweis 3

Du würdest zuerst ausrechnen, was 2x+5 ergebe. Erst danach würdest Du ausrechnen, was dieses Zwischnergebnis quadriert ergäbe.

Hinweis 4

Das Zwischenergebnis, das du zuerst ausrechnen würdest, ist 2x+5. Damit ist das der Kandidat für die innere Funktion g(x).

Hinweis 5

Wenn g(x)=2x+5 die innere Funktion ist, was muss dann die äußere Funktion sein? In welche Funktion musst Du für x den Term 2x+5 einsetzen, damit v(x)=(2x+5)² herauskommt?

Hinweis 6

Du musst in die Funktion f(x)=x² den Term 2x+5 einsetzen, damit v(x)=(2x+5)² herauskommt.

Hinweis 7

f(x)=x² ist also die äußere Funktion der verketteten Funktion v(x)=(2x+5)².

Hinweis 8

Zusammenfassung:
$v (x) = f (g (x))$
Äußere Funktion: $f (x) = x^{2}$
Innere Funktion: $g (x) = 2 x + 5$

Aufgabe 4

Gegeben ist die verkettete Funktion: $v (x) = 5 e^{-x} + 3$

Bestimme die äußere und die innere Funktion von v(x).

Lösung

v (x) = f (g (x))

Äußere Funktion:

f (x) = x + 3

Innere Funktion:

g (x) = 5 e^{-x}

Hinweis 1

Bestimme zunächst die äußere und die innere Funktion.

Hinweis 2

Überlege Dir wie Du den Funktionswert von v(x) ausrechnen würdest, wenn Du in die Funktion einen x-Wert einsetzen würdest. Was würdest Du zuerst ausrechnen?

Hinweis 3

Du würdest zuerst ausrechnen, was 5e^-x ergebe. Erst danach würdest Du ausrechnen, was dieses Zwischnergebnis mit 5 multipliziert und dann mit 3 addiert ergäbe.

Hinweis 4

Das Zwischenergebnis, das du zuerst ausrechnen würdest, ist 5e^-x. Damit ist das der Kandidat für die innere Funktion g(x).

Hinweis 5

Wenn g(x)=5e^-x die innere Funktion ist, was muss dann die äußere Funktion sein? In welche Funktion musst Du für x den Term 5e^-x einsetzen, damit v(x)=5e^-x + 3 herauskommt?

Hinweis 6

Du musst in die Funktion f(x)=x+3 den Term 5e^-x für x einsetzen, damit v(x)=5e^-x + 3 herauskommt.

Hinweis 7

f(x)=x+3 ist also die äußere Funktion der verketteten Funktion v(x)=5e^-x + 3.

Hinweis 8

Zusammenfassung:
$v (x) = f (g (x))$
Äußere Funktion: $f (x) = x + 3$
Innere Funktion: $g (x) = 5 e^{-x}$

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