Thema: Differenzieren (Ableiten) verketteter Funktionen - Was ist überhaupt eine verkettete Funktion?

Bevor man verkettete Funktion differenzieren kann, muss klar sein, was eine verkettete Funktion überhaupt ist und was bei diesen die innere und was die äußere Funktion ist.
Funktionen wie z.B. f(x)=(3x²-x)³ oder f(x)=e^2x sind sogenannte verkettete Funktionen. Sie heißen so, da sich bei ihnen zwei oder mehr Grundfunktionstypen verketten. Oft wird das dann bildlich so erklärt: "Eine Kette besteht aus einzelnen Gliedern, die nacheinander miteinander verbunden sind. Ähnlich werden bei der Funktionsverkettung die Operationen in einer Abfolge ausgeführt.". Das Wort "ähnlich" drückt es schon richtig aus. Es ist eben nicht genau so, wie bei einer echten Kette, die man sich um den Hals legt. Eine andere Möglichkeit ist es, sich eine solche Funktion als verschachtelte Funktion vorzustellen: Es gibt innerere Funktionen, die in äußerere Funktionen verschachtelt sind.

Beispiel 1:

Gegeben seien die beiden ganzrationalen Funktionen

$\begin{array}{}f\left(x\right)=x^3\end{array}$

und

$\begin{array}{}g\left(x\right)=3x^2-x\end{array}$

Diese beiden Funktion f(x) und g(x) sollen jetzt ineinander verschachtelt werden. Dabei soll die Funktion g(x) die innere Funktion sein, die in die äußere Funktion f(x) verschachtelt wird: Die neue verschachtetelte Funktion wird dann allgemein so geschrieben: $v\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$

g(x) ersetzt also, das x in f(x). g(x) wird also in die Funktion f(x) verschachtelt. Durch diese Verschachtelung ist jetzt g(x) mit f(x) verkettet worden, um den ursprünglichen Begriff der verketteten Funktion wieder aufzunehmen.

Hier im Speziellen bedeutet das, dass überall, wo in der äußeren Funktion f(x) ein x auftaucht, die gesamte innere Funktion eingesetzt werden muss. In f(x)=x³ existiert die Variable x nur ein einziges mal. g(x) muss also nur einmal das x in f(x) ersetzen: $v\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^3$

Und wenn jetzt g(x) noch ausgeschrieben wird, ergibt sich die verkettete Funktion:

$v\left(x\right)={\left(3x^2-x\right)}^3$

Beispiel 2:

Gegeben seien wieder die beiden ganzrationalen Funktionen

$\begin{array}{}f\left(x\right)=x^3\end{array}$

und

$\begin{array}{}g\left(x\right)=3x^2-x\end{array}$

Diese beiden Funktion f(x) und g(x) sollen jetzt wieder ineinander verschachtelt werden. Dabei soll aber jetzt die Funktion f(x) die innere Funktion sein, die in die äußere Funktion g(x) verschachtelt wird: Die neue verschachtetelte Funktion wird dann allgemein so geschrieben: $v\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

f(x) ersetzt also, das x in g(x). f(x) wird also in die Funktion g(x) verschachtelt. Durch diese Verschachtelung ist jetzt f(x) mit g(x) verkettet worden, um den ursprünglichen Begriff der verketteten Funktion wieder aufzunehmen.

Hier im Speziellen bedeutet das, dass überall, wo in der äußeren Funktion g(x) ein x auftaucht, die gesamte innere Funktion eingesetzt werden muss. In g(x)=3x²-x existiert die Variable x zwei Mal. f(x) muss diesmal also zweimal das x in g(x) ersetzen: $v\left(x\right)=3{\left(f\left(x\right)\right)}^2-f\left(x\right)$

Und wenn jetzt f(x) noch ausgeschrieben wird, ergibt sich die verkettete Funktion:

$\begin{array}{}v\left(x\right)=3{\left(x^3\right)}^2-x^3\text{Noch etwas umgeformt ergibt sich dann:}v\left(x\right)=3\left(x^{3·2}\right)-x^{3}v\left(x\right)=3\left(x^6\right)-x^{3}v\left(x\right)=3x^6-x^3\end{array}$

Beispiel 1 und Beispiel 2 zeigen, dass es nicht egal ist, wie zwei Funktionen miteinander verkettet werden. Es gilt im Allgemeinen:

$f\left(g\left(x\right)\right)\ne g\left(f\left(x\right)\right)$

Diese Regel wird beim Ableiten verketteter Funktionen noch wichtig werden, da bei einer verketteten Funktion vor dem Ableiten herausgefunden werden muss, welches die innere und welches die äußere Funktion einer verketteten Funktion ist.

Beispiel 3:

Gegeben sei die Exponentialfunktion

$\begin{array}{}f\left(x\right)=e^x\end{array}$

und die ganzrationale Funktion

$\begin{array}{}g\left(x\right)=2x\end{array}$

Diese beiden Funktion f(x) und g(x) sollen jetzt ineinander verschachtelt werden. Dabei soll die Funktion g(x) die innere Funktion sein, die in die äußere Funktion f(x) verschachtelt wird: Die neue verschachtetelte Funktion wird dann allgemein so geschrieben: $v\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$

g(x) ersetzt also, das x in f(x). g(x) wird also in die Funktion f(x) verschachtelt. Durch diese Verschachtelung ist jetzt g(x) mit f(x) verkettet worden, um den ursprünglichen Begriff der verketteten Funktion wieder aufzunehmen.

Hier im Speziellen bedeutet das, dass überall, wo in der äußeren Funktion f(x) ein x auftaucht, die gesamte innere Funktion eingesetzt werden muss. In f(x)=e^x existiert die Variable x nur ein einziges mal. g(x) muss also nur einmal das x in f(x) ersetzen: $v\left(x\right)=e^{g\left(x\right)}$

Und wenn jetzt g(x) noch ausgeschrieben wird, ergibt sich die verkettete Funktion:

$v\left(x\right)=e^{2x}$

Beispiel 4:

Auch hier soll im Vergleich mit Beispiel 3 gezeigt werden, dass es im Allgemeinen nicht egal ist, was die äußere und was die innere Funktion einer verketteten Funktion ist.
Gegeben sei die Exponentialfunktion

$\begin{array}{}f\left(x\right)=e^x\end{array}$

und die ganzrationale Funktion

$\begin{array}{}g\left(x\right)=2x\end{array}$

Diese beiden Funktion f(x) und g(x) sollen jetzt ineinander verschachtelt werden. Dabei soll die Funktion f(x) die innere Funktion sein, die in die äußere Funktion g(x) verschachtelt wird: Die neue verschachtetelte Funktion wird dann allgemein so geschrieben: $v\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

f(x) ersetzt also, das x in g(x). f(x) wird also in die Funktion g(x) verschachtelt. Durch diese Verschachtelung ist jetzt f(x) mit g(x) verkettet worden, um den ursprünglichen Begriff der verketteten Funktion wieder aufzunehmen.

Hier im Speziellen bedeutet das, dass überall, wo in der äußeren Funktion g(x) ein x auftaucht, die gesamte innere Funktion eingesetzt werden muss. In g(x)=2x existiert die Variable x nur ein einziges mal. f(x) muss also nur einmal das x in g(x) ersetzen: $v\left(x\right)=2f\left(x\right)$

Und wenn jetzt f(x) noch ausgeschrieben wird, ergibt sich die verkettete Funktion:

$v\left(x\right)=2e^x$

Auch Beispiel 3 und Beispiel 4 zeigen, dass es nicht egal ist, wie zwei Funktionen miteinander verkettet werden, welche Funktion also die innere Funktion und welche Funktion die äußere Funktion ist.

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