Thema: Aufgabe zum Differenzieren (Ableiten) von ganzrationalen Funktionen

Eine ganzrationale Funktion ist aus mehreren Potenzfunktionen und meist auch einer konstanten Funktion zusammengesetzt. Diese einzelnen Potenzfunktionen bzw. die konstante Funktion können jeweils einzeln mit der Potenz- und der Vorfaktorregel bzw. der Konstantenregel abgeleitet werden.

Die Funktion besteht aus 5 Potenzfunktionen und einer konstanten Funktion.

Es handelt sich um die 5 Potenzfunktionen:

f₁(x) = 0,001x⁵

f₂(x) = −0,002x⁴

f₃(x) = −0,05x³

f₄(x) = +0,1x²

f₅(x) = +0,625x

und die konstante Funktion f₆(x) = − 1.25

Die 6 Teilfunktionen haben die folgenden Ableitungen:

f₁(x) = 0,001x⁵ ⇒ f₁'(x) = 5⋅0,001x^5-1 = 0,005x⁴

f₂(x) = −0,002x⁴ ⇒ f₂'(x) = 4⋅(-0,002x)^4-1 = -0,008x³

f₃(x) = −0,05x³ ⇒ f₃'(x) = 3⋅(-0,05x)^3-1 = -0,15x²

f₄(x) = +0,1x² ⇒ f₄'(x) = 2⋅0,1x^2-1 = 0,2x¹ = 0,2x

f₅(x) = +0,625x = +0,625x¹ ⇒ f₅'(x) = 1⋅0,625x^1-1 = 0,625x⁰ = 0,625⋅1 = 0,625

und die konstante Funktion

f₆(x) = − 1.25 ⇒ f₆'(x) = 0

Die komplette Ableitungsfunktion f '(x) ergibt sich, in dem die Teilableitungsfunktionen f₁'(x) - f₆'(x) addiert werden.

f '(x) = f₁'(x) + f₂'(x) + f₃'(x) + f₄'(x) +f₅'(x) + f₆'(x)

f '(x) = (0,005x⁴) + (-0,008x³) + (-0,15x²) + (0,2x) + (0,625) + (0)

f '(x) = 0,005x⁴ - 0,008x³ - 0,15x² + 0,2x + 0,625 + 0

f '(x) = 0,005x⁴ - 0,008x³ - 0,15x² + 0,2x + 0,625

Die Ableitungsfunktion f '(x) lautet: f '(x) = 0,005x⁴ - 0,008x³ - 0,15x² + 0,2x + 0,625

Zeichne die Funktion entweder mit Geogebra oder erstelle eine Wertetabelle von x = -7 bis x = +7 zeichen die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Pukte sinnvoll.

Wertetabelle:

Der Graph von f '(x) hat Nullstellen. Was bedeutet das für die Originalfunktion f(x)?

Bei den Nullstellen der Ableitungsfunktion f '(x) hat die Originalfunktion f(x) die Steigung 0. An welchen Stellen hat die Originalfunktion f(x) die Steigung 0?

Die Originalfunktion f(x) hat an Extrempunkten und Sattelpunkten die Steigung 0. Hier in dieser Aufgabenstellung hat die Originalfunktion f(x) keine Sattelpunkte (siehe oben). Also handelt es sich bei den Nullstellen der Ableitungsfunktion f '(x) um Minimum- bzw. Maximumstellen.

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion liegen abgelesen ungefähr bei x = -5 ; x = -1,6 ; x = 3,2 ; x = 5. Dies sind also die Extremstellen der Originalfunktion f(x).

Wie findest Du anhand des Graphen der Ableitungsfunktion f '(x) heraus, ob die Extremstellen x = -5 ; x = -1,6 ; x = 3,2 ; x = 5 Minimum- oder Maximumstellen sind?

Um anhand des Graphen der Ableitungsfunktion f '(x) herauszufinden, ob die Extremstellen x = -5 ; x = -1,6 ; x = 3,2 ; x = 5 Minimum- oder Maximumstellen sind, musst Du Dir die Funktionswerte links und rechts neben diesen Stellen der Ableitungsfunktion f '(x) anschauen. Dabei ist nur wichtig, ob die Funktionswerte der Ableitungsfunktion f '(x) dort positiv oder negativ sind, denn dann ist die Steigung der Originalfunktion dort positv oder negativ.

Fange mit der ersten Nullstelle x = -5 der Ableitungsfunktion f '(x) an. Kurz vor x = -5 hat f '(x) positive Funktionswerte. Kurz nach x = -5 hat f '(x) negative Funktionswerte. D.h. vor der Extremstelle x = -5 der Originalfunktion f(x) ist die Steigung positiv und nach der Extremstelle x = -5 ist die Steigung negativ. Ist das bei Hoch- oder Tiefpunkten der Fall?

Wenn vor der Extremstelle x = -5 die Steigung der Originalfunktion f(x) positiv und nach der Extremstelle x = -5 negativ ist, dann muss es sich um einen Hochpunkt handeln, da der Graph einer Funktion bis zum Hochpunkt steigt und danch wieder fällt. Bei einem Tiefpunkt wäre das genau anders herum.

Bei x = -5 hat der Graph von f(x) also einen Hochpunkt. Wie wird jetzt die y-Koordinate dieses Hochpunktes bestimmt?

Um die y-Koordinate des Hochpunktes zu bestimmen, muss die Maximumstelle x = -5 in die Funktionsgleichung der Originalfunktion f(x) eingesetzt werden.

Bestimmung der y-Koordinate des Hochpunktes durch Einsetzen der Maximumstelle x = -5 in die Funktionsgleichung f(x) = 0,001x⁵ − 0,002x⁴ − 0,05x³ + 0,1x² + 0,625x − 1.25

f(-5) = 0,001⋅(-5)⁵ − 0,002⋅(-5)⁴ − 0,05⋅(-5)³ + 0,1⋅(-5)² + 0,625⋅(-5) − 1.25

f(-5) = 0,001⋅(-3125) − 0,002⋅(+625) − 0,05⋅(-125) + 0,1⋅(+25) + 0,625⋅(-5) − 1.25

f(-5) = -3,125 − 1.25 + 6,25 + 2,5 -3,125 − 1.25

f(-5) = 0 Wie lautet jetzt der erste Hochpunkt der Funktion f(x) ?

Der erste Hochpunkt der Funktion f(x) lautet H₁ = (-0,5 | 0)

Für die anderen Hoch- und Tiefpunkte wird jetzt nach dem gleichen Prinzip vorgegangen.

Die Berechnungen für die weiteren Hoch und Tiefpunkte gehen folgendermaßen:

Extremstelle x = -1,6: Links von x = -1,6 sind die Funktionswerte von f '(x) negativ und rechts positiv.
Das bedeutet, dass f(x) an dieser Stelle von einer negativen Steigung in eine positive übergeht. Das ist nur bei Tiefpunkten der Fall.
Bestimmen der y-Koordinate des Tiefpunktes: f(-1,6) = 0,001⋅(-1,6)⁵ − 0,002⋅(-1,6)⁴ − 0,05⋅(-1,6)³ + 0,1⋅(-1,6)² + 0,625⋅(-1,6) − 1.25 = -1,73
Daraus folgt der Tiefpunkt T₁ = (-1,6 | -1,73)

Extremstelle x = 3,2: Links von x = 3,2 sind die Funktionswerte von f '(x) positiv und rechts negativ.
Das bedeutet, dass f(x) an dieser Stelle von einer positiven Steigung in eine negative übergeht. Das ist nur bei Hochpunkten der Fall.
Bestimmen der y-Koordinate des Hochpunktes: f(3,2) = 0,001⋅(3,2)⁵ − 0,002⋅(3,2)⁴ − 0,05⋅(3,2)³ + 0,1⋅(3,2)² + 0,625⋅(3,2) − 1.25 = 0,26
Daraus folgt der Hochpunkt H₂ = (3,2 | 0,26)

Extremstelle x = 5: Links von x = 5 sind die Funktionswerte von f '(x) negativ und rechts positiv.
Das bedeutet, dass f(x) an dieser Stelle von einer negativen Steigung in eine positive übergeht. Das ist nur bei Tiefpunkten der Fall.
Bestimmen der y-Koordinate des Tiefpunktes: f(5) = 0,001⋅(5)⁵ − 0,002⋅(5)⁴ − 0,05⋅(5)³ + 0,1⋅(5)² + 0,625⋅(5) − 1.25 = 0
Daraus folgt der Tiefpunkt T₂ = (5 | 0)

Der Graph von f '(x) hat neben den Nullstellen auch noch drei Extremstellen. Was bedeutet das für die Originalfunktion f(x)?

Bei den Extremstellen der Ableitungsfunktion f '(x) hat die Originalfunktion f(x) die größten negativen bzw. positiven Steigungen. An welchen Stellen hat die Originalfunktion f(x) die größten negativen bzw. positiven Steigungen?

Die Originalfunktion f(x) hat an Wendepunkten die größten negativen bzw. positiven Steigungen.

Die Extremstellen der Ableitungsfunktion liegen abgelesen ungefähr bei x = -3,6 ; x = 0,6 ; x = 4,2. Dies sind also die Wendestellen der Originalfunktion f(x).

Fangen wir mit der ersten Extremstelle der Ableitungsfunktion x = -3,6 an. Um die y-Koordinate des Hochpunktes zu bestimmen, muss die Extremstelle x = -3,6 in die Funktionsgleichung der Originalfunktion f(x) eingesetzt werden.

Bestimmung der y-Koordinate des Wendepunktes durch Einsetzen der Wendestelle x = -3,6 in die Funktionsgleichung f(x) = 0,001x⁵ − 0,002x⁴ − 0,05x³ + 0,1x² + 0,625x − 1.25

f(-3,6) = 0,001⋅(-3,6)⁵ − 0,002⋅(-3,6)⁴ − 0,05⋅(-3,6)³ + 0,1⋅(-3,6)² + 0,625⋅(-3,6) − 1.25

f(-3,6) = -0,81 Wie lautet jetzt der erste Wendepunkt der Funktion f(x) ?

Der erste Wendepunkt der Funktion f(x) lautet W₁ = (-3,6 | -0,81)

Für die anderen Wendepunkte wird jetzt nach dem gleichen Prinzip vorgegangen.

Die Berechnungen für die weiteren Wendepunkte gehen folgendermaßen:

Wendestelle x = 0,6:
Bestimmen der y-Koordinate des Wendepunktes: f(0,6) = 0,001⋅(0,6)⁵ − 0,002⋅(0,6)⁴ − 0,05⋅(0,6)³ + 0,1⋅(0,6)² + 0,625⋅(0,6) − 1.25 = -0,85
Daraus folgt der Wendepunkt W₂ = (0,6 | -0,85)

Wendestelle x = 4,2:
Bestimmen der y-Koordinate des Wendepunktes: f(4,2) = 0,001⋅(4,2)⁵ − 0,002⋅(4,2)⁴ − 0,05⋅(4,2)³ + 0,1⋅(4,2)² + 0,625⋅(4,2) − 1.25 = 0,26
Daraus folgt der Wendepunkt W₃ = (4,2 | 0,16)