Thema: Differenzieren (Ableiten) von ganzrationalen Funktionen
Das Ableiten von ganzrationalen Funktion basiert auf der Potenzregel, der Faktorregel, der Summenregel und der Konstanteregel.
Potenzregel:
Wenn f(x) = xn , dann ist f '(x) = n ⋅ xn-1
Eine Potenzfunktion ohne Vorfaktor wird abgeleitet (differenziert), indem man den Exponenten n um eins
verringert und dieser entstehende Ausdruck wird mit n multipliziert.
Beispiel:
f(x) = x5 ⇒ f '(x) = 5 ⋅ x5-1
= 5 ⋅ x4
= 5x4
Faktorregel:
Wenn f(x) = a ⋅ g(x) , dann ist f '(x) = a ⋅ g(x)
Eine beliebige Funktion f(x), die sich aus der Multiplikation einer beliebigen reellen
Zahl a und einer beliebigen Funktion g(x) ergibt, wird abeleitet, indem die Ableitung
der Funktion g(x) mit a multipliziert.
Beispiel:
f(x) = 3 ⋅ x5 ⇒ f '(x) = 3 ⋅ 5x4
= 15x4
Dieses Beispiel war auch gleichzeitig ein Beispiel für die Verknüpfung der Potenzregel
mit der Faktorregel. Die Faktorregel lässt sich aber genauso auch auf alle anderen
Funktionstypen wie z.B. e-Funktionen anwenden. Dazu aber später mehr.
Mit der gleichzeitigen Anwendung der Potenzregel und der Faktorregel lassen sich also alle Potenzfunktionen ableiten:
Potenzfunktionen ableiten:
Eine Potenzfunktion f(x) = a ⋅ xn ergibt abgeleitet
f '(x) = a ⋅ n ⋅ xn-1
Eine Potenzfunktion mit Vorfaktor wird abgeleitet (differenziert), indem man den
Exponenten n um eins verringert und dieser entstehende Ausdruck wird mit a und n
multipliziert.
Konstantenregel:
Wenn f(x) = C , dann ist f '(x) = 0
Eine Funktion f(x), die eine konstante Funktion ist, das heißt die für jeden x-Wert den
gleichen Funktionswert C besitzt, hat keine Steigung. Das bedeutet, dass die
Ableitungsfunktion 0 ist.
Eine ganzrationale Funktion f(x) = an ⋅ xn ± an-1 ⋅ xn-1 ± an-2 ⋅ xn-2 ± … a2 ⋅ x2 ± a1 ⋅ x1 ± a0 setzt sich aus mehreren Summanden zusammen. Jeder dieser Summanden, für sich betrachtet, ist eine Potenzfunktion. D.h. eine beliebige ganzrationale Funktion setzt sich aus einer Addidion bzw. Subtraktion von mehreren Potenzfunktionen zusammen.
Beispiel:
Die ganzrationale Funktion f(x) = 3x5 + 2x4 - 6x2 + 3
setzt sich aus 4 Summanden zusammen. Dabei spielt es keine Rolle ob + oder - zwischen den
Summanden steht, da man das Subtrahieren als das Addieren eines negativen Wertes auffassen
kann: f(x) = 3x5 + 2x4 + (- 6x2) + 3
Für das Ableiten einer ganzrationalen Funktion wird deshalb die Summenregel benötigt.
Summenregel: Eine Funktion f(x) = f1(x) ± f2(x) ± f3(x) ± … hat die Ableitungsfunktion f '(x) = f '1(x) ± f '2(x) ± f '3(x) ± … Eine Funktion, die sich aus beliebigen Funktionen zusammensetzt, in dem diese addiert bzw. subtrahiert werden, wird abgeleitet, in dem die Teilfunktionen jede für sich abgeleitet werden und entsprechend den Originalfunktionen genauso addiert oder subtrahiert werden.
Beispiel:
f(x) = 3x5 + 2x4 - 6x2 + 3
setzt sich aus 4 Teilfunktionen zusammen, die jeweils die folgenden Ableitungsfunktionen
haben:
f1(x) = 3x5 ⇒ f '1(x) = 15x4
f2(x) = 2x4 ⇒ f '2(x) = 8x3
f3(x) = -6x2 ⇒ f '3(x) = -12x1 = -12x
f4(x) = 3 ⇒ f '4(x) = 0
Diese Teilfunktionen müssen jetzt wieder nur addiert werden, um die gesamte
Ableitungsfunktion der ganzrationalen Funktin zu erhalten:
f '(x) = 15x4 + 8x3 + (-12x) + 0 = 15x4 + 8x3 - 12x
Das ganze lässt sich natürlich auch schneller in einem einzigen Schritt lösen ohne
die Funktionen f1(x), f2(x), f3(x)
und f4(x) alle einzeln aufzuschreiben.
Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst,
dann geht es mit einer Aufgabe zum Ableiten ganzrationaler Funktionen weiter.
