Thema: Differenzieren (Ableiten) - Aufgabe zum grafischen Ableiten

Beim grafischen Ableiten bestimmst Du an verschiedenen Punkten des Graphen von f(x) die Steigung der Tangente. Diese Steigungen werden dann als Funktionswerte (y-Werte) im Graphen der Ableitungsfunktion f ′(x) eingetragen.

Suche Dir zunächst markante Punkte, wie Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Funktion f(x) heraus und bestimme dort mit Hilfe der Tangente und einem Steigungsdreieck die Steigung.

Am einfachsten ist das Bestimmen der Steigung an den Hoch- und Tiefpunkten. Denn dort ist die Steigung immer 0.

Abgelesene Hochpunkte und Tiefpunkte hat die Funktion ungefähr folgende: H1(0|5) ; T(1,15|0,8) ; H2(2,6|8,2)

Das heißt, dass die Funktion f(x) an den Stellen x=0, x=1,15 und x=2,6 die Steigungen f '(0)=0, f '(1,15)=0 und f '(2,6)=0 besitzt.

Es werden also die Punkte P1(0|0), P2(1,15|0) und P3(2,6|0) auf der x-Achse des Graphen der Funktion f '(x) eingetragen.

Es ergibt sich zunächst folgendes:



Die Hoch und Tiefpunkte der Funktion f(x) ergeben also die Nullstellen der Funktion f '(x).

Weitere markante Punkte sind die Wendepunkte der Funktion f(x).

Abgelesene Wendepunkte hat die Funktion ungefähr folgende: W1(0,6|2,7) ; W2(1,9|4,4)

In die Wendepunkte W1(0,6|2,7) ; W2(1,9|4,4) müssen Tangenten gezeichnet werden.

Es ergibt sich folgendes:

An die Tangenten müssen jetzt jeweils gut ablesbare Steigungsdreiecke gezeichnet werden.

Es ergibt sich z.B. folgendes:

Jetzt müssen die Seitenlängen der Steigungsdreiecke bestimmt werden.

Die Seitenlängen betragen ungefähr:

• deltaX1 = 1,6 - 0,6 = 1,0
• deltaY1 = 2,8 - (-2,8) = 2,8 + 2,8 = 5,6
• deltaX2 = 2,9 - 1,9 = 1,0
• deltaY2 = 12,2 - 4,4 = 7,8

Jetzt müssen mit Hilfe der Seitenlängen der Steigungsdreiecke die Steigungen der Tangenten und damit die Steigung in den Punkten durch die die Tangenten laufen bestimmt werden.

Die Steigung im Wendepunkt W1 beträgt:

$\begin{array}{c}\mathrm{m1}=\frac{\mathrm{-5,6}}{\mathrm{1,0}}\\ \mathrm{m1}=\mathrm{-5,6}\end{array}$

Die Steigung m1 = -5,6 ist negativ, da der Graph von f(x) im Wendepunkt W1 fällt.

Die Steigung im Wendepunkt W2 beträgt:

$\begin{array}{c}\mathrm{m2}=\frac{\mathrm{7,8}}{\mathrm{1,0}}\\ \mathrm{m2}=\mathrm{7,8}\end{array}$

Die Steigung m2= +7,8 ist positiv, da der Graph von f(x) im Wendepunkt W2 steigt.

Das heißt, dass die Funktion f(x) an den x-Koordinaten der Wendepunkte x=0,6 und x=1,9 die Steigungen f '(0,6) = -5,6 und f '(1,9) = +7,8 besitzt.

Es werden also die Punkte P4(0,6|-5,6) und P5(1,9|7,8) des Graphen der Funktion f '(x) eingetragen.

Es ergibt sich jetzt folgendes:



Die Hoch und Tiefpunkte der Funktion f(x) ergeben also die Nullstellen der Funktion f '(x).

Es könnten jetzt noch weitere Steigungswerte der Funktion f(x) links neben dem Hochpunkt H1 und rechts neben dem Hochpunkt H2 bestimmt werden. Da aber eine Skizze reicht und die Steigungswerte für die markanten Punkte, also die Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Funktion f(x) bestimmt wurden, können die Punkte P1-P5 jetzt miteinander verbunden werden.

Abschließend eregibt sich die folgende Skizze der Ableitungsfunktion f '(x) in rot:



Da die Steigungen in den Wendepunkten die jeweils größten zwischen den Hoch- und Tiefpunkten sind, sind sie wiederum Tief und der Hochpunkt der Ableitungsfunktion f '(x).