Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Im Folgenden wird erklärt wie man Potenzen mit gleicher Basis dividiert.

Beispiel:

$\frac{7^{5}}{7^{3}} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 7} = \frac{(7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 7}{(7 \cdot 7 \cdot 7)} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 7}{1} = 7^{5 - 3} = 7^{2} = 7 \cdot 7 = 49$

Allgemein gilt also:

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

Potenzen mit gleicher Basis a werden dividiert, indem man die Basis mit der Differenz der Exponenten m und n potenziert.

Ein weiteres Beispiel:

$\frac{8^{3}}{8^{5}} = \frac{8 \cdot 8 \cdot 8}{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8} = \frac{(8 \cdot 8 \cdot 8)}{(8 \cdot 8 \cdot 8) \cdot 8 \cdot 8} = \frac{1}{1 \cdot 8 \cdot 8} = \frac{1}{8^{5 - 3}} = \frac{1}{8^{2}} = \frac{1}{64}$

Das letzte Beispiel zeigt folgendes:

Wenn die Regel $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ auch gilt, wenn n > m, im Beispiel also 5 > 3, also der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler, dann müsste man folgendermaßen rechnen können:

$\frac{8^{3}}{8^{5}} = 8^{3 - 5} = 8^{-2} = \frac{1}{8^{2}} = \frac{1}{64}$

Und das darf man tatsächlich auch so schreiben. Es gilt also folgendes Gesetz: $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$

Und was ist, wenn der Exponent des Zählers und des Nenners gleich groß sind, also m=n ist?
Auch hier soll die an einem Beispiel erklärt werden:

$\frac{5^{4}}{5^{4}} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8)}{(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8)} = \frac{1}{1} = 5^{4 - 4} = 5^{0} = 1$

Und auch das ist ein allgemeingültiges Gesetz: $a^{0} = 1$

Noch ein etwas komplizierteres Beispiel, das zeigen soll, dass sich durch die negative Schreibweise des Exponenten oft die umständliche Bruchschreibweise vermeiden lässt:

$27 a^{4} b^{4} \cdot \frac{56 a^{2}}{b^{3}} \cdot \frac{42 b^{3}}{a^{2}} = 3^{3}a^{4}b^{4}\cdot7\cdot2^{3}a^{2}b^{-3}\cdot7\cdot3\cdot2a^{-2}b^{3}=2^{3}\cdot2^{1}\cdot3^{3}\cdot3^{1}\cdot7^{1}\cdot7^{1}\cdota^{4}a^{2}a^{-2}\cdotb^{4}b^{-3}b^{3}=2^{3 + 1}\cdot3^{3 + 1}\cdot7^{1 + 1}\cdota^{4 + 2 + (-2)}\cdotb^{4 + (-3) + 3}=2^{3 + 1}\cdot3^{3 + 1}\cdot7^{1 + 1}\cdota^{4 + 2 - 2}\cdotb^{4 - 3 + 3}=2^{4}\cdot3^{4}\cdot7^{2}\cdota^{4}\cdotb^{4}$

Aufgabe

Zeige, dass

$\frac{75}{x^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{9} \cdot \frac{x^{2} y^{3}}{64}$

das Gleiche ist wie

$\frac{5^{2} \cdot y^{5}}{2^{4} \cdot 3}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis.

Hinweis 1

Schreibe zunächst die Zahlen als Potenzen.

Hinweis 2

Die Zahlen als Potenzen geschrieben.

\frac{75}{x^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{9} \cdot \frac{x^{2} y^{3}}{64} = \frac{3 \cdot 5^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{2^{2} \cdot y^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{3}}{2^{6}}

Hinweis 3

Jetzt die Nenner in den Zähler schreiben mit dem Gesetz: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

Hinweis 4

Die Zähler jetzt im Nenner geschrieben:

$\frac{3 \cdot 5^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{2^{2} \cdot y^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{3}}{2^{6}} = 3 \cdot 5^{2} \cdot x^{-2} \cdot 2^{2} \cdot y^{2} \cdot 3^{-2} \cdot x^{2} \cdot y^{3} \cdot 2^{-6}$

Hinweis 5

Jetzt nach den Basen umordnen.

Hinweis 6

Nach Basen umgeordnet:

$3 \cdot 5^{2} \cdot x^{-2} \cdot 2^{2} \cdot y^{2} \cdot 3^{-2} \cdot x^{2} \cdot y^{3} \cdot 2^{-6} = 2^{2} \cdot 2^{-6} \cdot 3^{1} \cdot 3^{-2} \cdot 5^{2} \cdot x^{-2} \cdot x^{2} \cdot y^{2} \cdot y^{3}$

Hinweis 7

Die Potenzregel für das Potenzieren von Potenzen mit gleicher Basis anwenden.

Hinweis 8

Die Potenzregel für das Potenzieren von Potenzen mit gleicher Basis wird angewendet;

$2^{2} \cdot 2^{-6} \cdot 3^{1} \cdot 3^{-2} \cdot 5^{2} \cdot x^{-2} \cdot x^{2} \cdot y^{2} \cdot y^{3} = 2^{2 - 6} \cdot 3^{1 - 2} \cdot 5^{2} \cdot x^{-2 + 2} \cdot y^{2 + 3} = 2^{-4} \cdot 3^{-1} \cdot 5^{2} \cdot x^{0} \cdot y^{5}$

Hinweis 9

Jetzt noch die Regeln

$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$ und $a^{0} = 1$ anwenden.

Hinweis 10

Die Regeln

$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$ und $a^{0} = 1$ angewendet ergeben:

$2^{-4} \cdot 3^{-1} \cdot 5^{2} \cdot x^{0} \cdot y^{5} = \frac{1}{2^{4}} \cdot \frac{1}{3^{1}} \cdot 5^{2} \cdot 1 \cdot y^{5} = \frac{1}{2^{4}} \cdot \frac{1}{3} \cdot 5^{2} \cdot y^{5}$

Hinweis 11

Jetzt noch alles auf einen Bruchstrich schreiben.

Lösung

$\frac{1}{2^{4}} \cdot \frac{1}{3} \cdot 5^{2} \cdot y^{5} = \frac{5^{2} \cdot y^{5}}{2^{4} \cdot 3}$

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