Potenzieren einer Potenz

Im Folgenden wird erklärt wie man Potenzen potenziert.

Beispiel:

${(3^{2})}^{4} = {(3 \cdot 3)}^{4}$

Nach dem Gesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten gilt:

$a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

Mit a = b = 3 gilt also:

${(3 \cdot 3)}^{4} = 3^{4} \cdot 3^{4}$

Und nach dem Gesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis gilt:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Mit m = n = 4 gilt also:

$3^{4} \cdot 3^{4} = 3^{(4 + 4)} = 3^{8}$

oder:

$3^{4} \cdot 3^{4} = 3^{(2 \cdot 4)} = 3^{8}$

Wenn man ganz an den Anfang des Beispiels zurückschaut, gilt also:

${(3^{2})}^{4} = 3^{(2 \cdot 4)} = 3^{8}$

Allgemein gilt also:

${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$

Potenzen werden potenziert, indem man die Basis a mit dem Produkt der Exponenten m und n potenziert.

Drei weitere Beispiele:

Beispiel 1:
${(2^{5})}^{3} = 2^{(5 \cdot 3)} = 2^{15} = 32768$

Beispiel 2:
${(2^{3})}^{5} = 2^{(3 \cdot 5)} = 2^{15} = 32768$

Beispiel 3:
$\frac{{(- 3 x^{2})}^{4}}{{(9 x^{3})}^{2}} = \frac{{(-1)}^{4} \cdot {(3)}^{4} \cdot {(x^{2})}^{4}}{{(9)}^{2} \cdot {(x^{3})}^{2}} = \frac{+ 1 \cdot 3^{4} \cdot x^{2 \cdot 4}}{{(3^{2})}^{2} \cdot {(x^{3})}^{2}} = \frac{1 \cdot 3^{4} \cdot x^{8}}{3^{2 \cdot 2} \cdot x^{3 \cdot 2}} = \frac{3^{4} \cdot x^{8}}{3^{4} \cdot x^{6}} = \frac{x^{8}}{x^{6}} = x^{8 - 6} = x^{2}$

Aufgabe

Zeige, dass

$\frac{{(-9 a^{2} b^{3})}^{5}}{{(-6 a^{2} b)}^{4}}$

das Gleiche ist wie

$- \frac{3^{6} a^{2} b^{11}}{2^{4}}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis.

Hinweis 1

Schreibe zunächst die Zahlen 9 und 6 faktorisiert (z.B. besteht die Zahl 14 aus den beiden Faktoren 2 und 7: 14 = 2 $\cdot$ 7) auf, da man dann später evtl. kürzen kann.

Hinweis 2

\frac{{(-9 a^{2} b^{3})}^{5}}{{(-6 a^{2} b)}^{4}} = \frac{{(- 3^{2} a^{2} b^{3})}^{5}}{{(- 2 \cdot 3 a^{2} b)}^{4}}

Hinweis 3

Wende jetzt das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten auf jeden Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner an.

Hinweis 4

\frac{{(- 3^{2} a^{2} b^{3})}^{5}}{{(- 2 \cdot 3 a^{2} b)}^{4}} = \frac{{(-1)}^{5} {(3^{2})}^{5} {(a^{2})}^{5} {(b^{3})}^{5}}{{(-1)}^{4} \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} {(a^{2})}^{4} b^{4}}

Hinweis 5

Jetzt erstmal die Potenzen von -1 im Zähler und Nenner berechnen.

Hinweis 6

\frac{{(-1)}^{5} {(3^{2})}^{5} {(a^{2})}^{5} {(b^{3})}^{5}}{{(-1)}^{4} \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} {(a^{2})}^{4} b^{4}} = \frac{-1 \cdot {(3^{2})}^{5} {(a^{2})}^{5} {(b^{3})}^{5}}{+ 1 \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} {(a^{2})}^{4} b^{4}}

Hinweis 7

Jetzt das Gesetz zum Potenzieren einer Potenz auf alle Faktoren im Zähler und im Nenner anwenden.

Hinweis 8

\frac{-1 \cdot {(3^{2})}^{5} {(a^{2})}^{5} {(b^{3})}^{5}}{+ 1 \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} {(a^{2})}^{4} b^{4}} = \frac{-1 \cdot 3^{10} \cdot a^{10} \cdot b^{15}}{+ 1 \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot a^{8} \cdot b^{4}}

Hinweis 9

Jetzt lassen sich auf die Basen 3, a und b das Gesetz zum Dividieren von Potenzen mit gleicher Bassis anwenden.

Hinweis 10

\frac{-1 \cdot 3^{10} \cdot a^{10} \cdot b^{15}}{+ 1 \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot a^{8} \cdot b^{4}} = \frac{-1 \cdot 3^{(10 - 4)} \cdot a^{(10 - 8)} \cdot b^{(15 - 4)}}{+ 1 \cdot 2^{4}} = \frac{-1 \cdot 3^{6} \cdot a^{2} \cdot b^{11}}{+ 1 \cdot 2^{4}}

Hinweis 11

$\frac{-1}{+ 1} = -1$ kann vor den Bruchstrich geschrieben werden.

Lösung

\frac{-1 \cdot 3^{6} \cdot a^{2} \cdot b^{11}}{+ 1 \cdot 2^{4}} = -1 \cdot \frac{3^{6} \cdot a^{2} \cdot b^{11}}{2^{4}} = - \frac{3^{6} \cdot a^{2} \cdot b^{11}}{2^{4}}

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