Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

$2^{3} \cdot 5^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 5)^{3} = 10^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Allgemein gilt also:

$a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor a,b,... mit dem gleichen Exponenten n potenziert und die so erhaltenen Potenzen multipliziert.
Umgekehrt werden Potenzen mit gleichen Exponenten n multipliziert, indem man das Produkt a,b,... der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten n potenziert.

Zwei weitere Beispiele:

Beispiel 1:

(2 x y z)^{4} = 2^{4} x^{4} y^{4} z^{4} = 16 x^{4} y^{4} z^{4}

Beispiel 2:

2^{7} \cdot 5^{8} = 2^{7} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^{7} \cdot 5^{7} \cdot 5 = (2 \cdot 5)^{7} \cdot 5 = 10^{7}\cdot5=10000000\cdot5=50000000

Aufgabe

Forme den Term $3^{5} \cdot a^{3} \cdot b^{2}$
um, so dass zum Schluss der folgende Term herauskommt: $3 a \cdot (9 ab)^{2}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis.

Hinweis 1

Die Exponenten sind alle unterschiedlich. So darf noch nicht zusammengefasst werden. Schreibe zunächst die einzelnen Potenzen in der faktorisierten Schreibweise auf.

Hinweis 2

Die faktorisierte Schreibweise lautet:
$3^{5} \cdot a^{3} \cdot b^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b$

Wie oft kommt jeder Faktor mindestens vor?

Hinweis 3

Jeder Faktor kommt mindestens zweimal vor. D.h. man kann den Term jetzt folgender maßen umschreiben:
$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a \cdot b \cdot b = 3 \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot a \cdot a^{2} \cdot b^{2}$

Hinweis 4

Dies lässt sich jetzt umordnen:
$3 \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot a \cdot a^{2} \cdot b^{2} = 3 \cdot a \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2}$

Hinweis 5

Jetzt lässt sich auf die Basen mit der Potenz 2 das Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten anwenden:
$3 \cdot a \cdot 3^{2} \cdot 3^{2} \cdot a^{2} \cdot b^{2} = 3 \cdot a \cdot (3 \cdot 3 \cdot a \cdot b)^{2}$

Hinweis 6

Jetzt lässt sich noch abgekürzt schreiben:
$3 \cdot a \cdot (3 \cdot 3 \cdot a \cdot b)^{2} = 3 a \cdot (9 a b)^{2}$

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