Division von Potenzen mit gleichen Exponenten

Die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten funktioniert entsprechend der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

$\frac{2^{3}}{5^{3}} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = (\frac{2}{5})^{3}$

Allgemein gilt also:

$\frac{a^{n}}{b^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$

Ein Bruch (Quotient) wird potenziert, indem man Zähler (Dividend) a und Nenner (Divisor) b mit dem gleichen Exponenten n einzeln potenziert und die so erhaltenen Potenzen dividiert.
Umgekehrt werden Potenzen mit gleichen Exponenten n dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den so erhaltenen Quotienten mit dem gemeinsamen Exponenten n potenziert.

Zwei weitere Beispiele:

Beispiel 1:

(\frac{2 x}{y z})^{4} = \frac{(2 x)^{4}}{(y z)^{4}} = \frac{2^{4} x^{4}}{y^{4} z^{4}} = \frac{16 x^{4}}{y^{4} z^{4}}

Beispiel 2:

\frac{2^{7}}{5^{8}} = \frac{2^{7}}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2^{7}}{5^{7} \cdot 5} = \frac{2^{7}}{5^{7}} \cdot \frac{1}{5} = (\frac{2}{5})^{7} \cdot \frac{1}{5} = {0,4}^{7} \cdot 0,2 = 0,0016384 \cdot 0,2 = 0,00032768

Aufgabe

Forme den Term $\frac{3^{5} \cdot a^{3}}{b^{2}}$
um, so dass zum Schluss der folgende Term herauskommt: $27 a \cdot (\frac{3 a}{b})^{2}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis.

Hinweis 1

Die Exponenten sind alle unterschiedlich. So darf noch nicht zusammengefasst werden. Schreibe zunächst die einzelnen Potenzen in der faktorisierten Schreibweise auf.

Hinweis 2

Die faktorisierte Schreibweise lautet:
$\frac{3^{5} \cdot a^{3}}{b^{2}} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{b \cdot b}$

Wie oft kommt jeder Faktor mindestens vor?

Hinweis 3

Jeder Faktor kommt mindestens zweimal vor. D.h. man kann den Term jetzt folgender maßen umschreiben:
$\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a \cdot a \cdot a}{b \cdot b} = \frac{3^{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a^{2} \cdot a}{b^{2}}$

Hinweis 4

Dies lässt sich jetzt umordnen:
$\frac{3^{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a^{2} \cdot a}{b^{2}} = \frac{3^{2} a^{2} \cdot 27 a}{b^{2}}$

Hinweis 5

Jetzt lässt sich im Zähler auf die Basen mit der Potenz 2 das Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten anwenden:
$\frac{3^{2} a^{2} \cdot 27 a}{b^{2}} = \frac{(3 a)^{2} \cdot 27 a}{b^{2}}$

Hinweis 6

Jetzt lässt sich auf die Terme 3a und b mit dem gleichen Exponenten 2 das Potenzgesetz zur Division von Potenzen mit gleichen Exponenten anwenden:
$\frac{(3 a)^{2} \cdot 27 a}{b^{2}} = (\frac{3 a}{b})^{2} \cdot 27 a$

Hinweis 7

Dies lässt sich jetzt umordnen:
$(\frac{3 a}{b})^{2} \cdot 27 a = 27 a \cdot (\frac{3 a}{b})^{2}$

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