Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Im Folgenden wird erklärt wie man Potenzen mit gleicher Basis multipliziert.

Beispiel:

$2^{3} \cdot 2^{5} = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3 + 5} = 2^{8}$

Ein anderes praxisnäheres Beispiel, ist das Berechnen des Volumens eines Würfels mit der Seitenlänge a=4 Längeneinheiten:

$V = 4 \cdot 4 \cdot 4 = (4 \cdot 4) \cdot 4 = 4^{2} \cdot 4^{1} = 4^{(2 + 1)} = 4^{3}$

Allgemein gilt also:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Potenzen mit gleicher Basis a werden multipliziert, indem man die Basis mit der Summe der Exponenten m und n potenziert.

Zwei weitere Beispiele:

Beispiel 1:

3^{4} \cdot 3^{2} = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{4 + 2} = 3^{6}

Beispiel 2:

56 a^{5} b \cdot 98 a^{7} b^{5} \cdot 14 a^{2} b^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot a^{5} b \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot a^{7} b^{5} \cdot 2 \cdot 7 \cdot a^{2} b^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot a^{2} \cdot a^{5} \cdot a^{7} \cdot b^{1} \cdot b^{3} \cdot b^{5} = 2^{5} \cdot 7^{4} \cdot a^{2} \cdot a^{5} \cdot a^{7} \cdot b^{1} \cdot b^{3} \cdot b^{5} = 2^{5} \cdot 7^{4} \cdot a^{2 + 5 + 7} \cdot b^{1 + 3 + 5} = 2^{5} \cdot 7^{4} \cdot a^{14} \cdot b^{9}

Aufgabe

Fasse den Term $x^{4} y^{2} \cdot x^{3} z^{5} \cdot y^{3} z^{4}$
soweit wie möglich zusammen, so dass zum Schluss der folgende Term herauskommt: $x^{7} y^{5} z^{9}$

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis.

Hinweis 1

Welche gleichen Basen gibt es in dem Term?

Hinweis 2

Es gibt die Basen x, y und z in dem Term. Ordne zunächst die Faktoren nach ihren gleichen Basen um.

Hinweis 3

Geordnet nach ihren Basen x, y und z ergibt sich:
$x^{4} y^{2} \cdot x^{3} z^{5} \cdot y^{3} z^{4} = x^{4} \cdot x^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{3} \cdot z^{5} \cdot z^{4}$

Hinweis 4

Jetzt darf man für die einzelnen gleichen Basenpaare die Regel für das Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis anwenden:
$x^{4} \cdot x^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{3} \cdot z^{5} \cdot z^{4} = x^{4 + 3} \cdot y^{2 + 3} \cdot z^{5 + 4}$

Hinweis 5

Addiert man jetzt die einzelnen Potenzen, dann ergibt sich:
$x^{4 + 3} \cdot y^{2 + 3} \cdot z^{5 + 4} = x^{7} y^{5} z^{9}$

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