Exponentielles Wachstum/Logarithmieren - Aufgabenstellung zu positivem Wachstum

Von 420 ppm ausgehend kommen jährlich 0,5% dazu.

0,5% = 0,5 Prozent = 0,5 pro Cent = 0,5 pro 100 = 0,5 / 100 = 0,005

Pro Jahr kommt jeweils das (1 + 0,005)-fache = 1,005 fache ausgehend von 420 ppm dazu.

Die linke Seite der Gleichung muss also mit x in Jahren heißen:

$420·{1.005}^x=?$

Je nachdem, was auf der linken Seite für x, also die Anzahl der Jahre, eingesetzt wird, ergibt sich eine bestimmte Konzentrationsmenge.
Diese muss gleich 450 sein, wenn herausgefunden werden soll nach wie vielen Jahren eine Konzentrationsmenge von 450 ppm erreicht wird.
Dies wiederum bedeutet, dass die linke Seite der Gleichung 450 sein muss.

Die zu lösende Gleichung lautet also:

$420·{1.005}^x=\mathrm{450}$

Zunächst muss die 420 auf die rechte Seite gebracht werden.

$\begin{array}{}\frac{420}{420}·{1.005}^x=\frac{450}{420}{1.005}^x=\frac{15}{14}\end{array}$

Um an die benötigte Jahreszahl x zu kommen, muss logarithmiert werden.

Da die Basis der Potenz 1,005 ist, muss der Logarithmus zu 1,005 auf beiden Seiten der Gleichung berechnet werden.
Eine Alternative ist, die Basis jetzt auf die Basis e umzurechnen. Dieser Rechenweg ist in der "Lösung 2 mit Umrechnung auf die Basis e gezeigt.
In den Hinweisen hier wird jetzt mit dem Logarithmus zur Basis 1,005 weitergerechnet.

$\begin{array}{}{log}_{1.005}{1.005}^x={log}_{1.005}\frac{15}{14}x={log}_{1.005}\frac{15}{14}x\approx {log}_{1.005}1.07143\begin{array}{}\end{array}\end{array}$

Den Logarithmus zur Basis von 1,005 findet man auf keinem Taschenrechner. Es muss dafür ein Logarithmengesetz benutzt werden.

Das benötigte Logarithmengesetz lautet allgemein:

Logarithmusgesetz zur Basisumrechnung

${log}_{\mathrm{b}}z=\frac{{log}_{\mathrm{a}}z}{{log}_{\mathrm{a}}b}$

, wobei a eine beliebige Basis sein darf.

Es lässt sich nun also schreiben:

$x\approx \frac{{log}_{10}1.07143}{{log}_{10}1.005}$

Oder alternativ:

$x\approx \frac{ln1.07143}{ln1.005}$

Zum Schluss noch die beiden Logarithmen berechnen und durcheinander dividieren:

$\begin{array}{}x\approx \frac{{log}_{10}1.07143}{{log}_{10}1.005}x\approx \frac{0.02996}{0.00217}x\approx 13.81\end{array}$

Es wurden also 13,81 Jahre ausgerechnet. Und was bedeutet das jetzt für die Ausgangsfragestellung?

13,81 Jahre nach dem April des Jahres 2021 (wegen des Aprils ca. 2021,25), als die CO₂-Konzentration noch bei 420 ppm lag, sind die 450 ppm erreicht, wenn sich die CO₂-Konzentration jeweils jährlich um 0,5% erhöht. Also 2021,25 + 13,81 = 2035,06. Anfang des Jahres 2035 statt 2099 ist die maximale CO₂-Konzentration von 250 ppm in der Atmosphäre bereits erreicht, wenn die Konzentrationserhöhung von 0,5% so bleibt.

$\begin{array}{}420·{1.005}^x=\mathrm{450}\frac{420}{420}·{1.005}^x=\frac{450}{420}{1.005}^x=\frac{15}{14}{log}_{1.005}{1.005}^x={log}_{1.005}\frac{15}{14}x={log}_{1.005}\frac{15}{14}x\approx {log}_{1.005}1.07143x\approx \frac{{log}_{10}1.07143}{{log}_{10}1.005}x\approx \frac{0.02996}{0.00217}x\approx 13.81\end{array}$

13,81 Jahre nach dem April des Jahres 2021 (wegen des Aprils ca. 2021,25), als die CO₂-Konzentration noch bei 420 ppm lag, sind die 450 ppm erreicht, wenn sich die CO₂-Konzentration jeweils jährlich um 0,5% erhöht. Also 2021,25 + 13,81 = 2035,06. Anfang des Jahres 2035 statt 2099 ist die maximale CO₂-Konzentration von 250 ppm in der Atmosphäre bereits erreicht, wenn die Konzentrationserhöhung von 0,5% so bleibt.

13,83 Jahre nach dem April des Jahres 2021 (wegen des Aprils ca. 2021,25), als die CO₂-Konzentration noch bei 420 ppm lag, sind die 450 ppm erreicht, wenn sich die CO₂-Konzentration jeweils jährlich um 0,5% erhöht. Also 2021,25 + 13,83 = 2035,08. Anfang des Jahres 2035 statt 2099 ist die maximale CO₂-Konzentration von 250 ppm in der Atmosphäre bereits erreicht, wenn die Konzentrationserhöhung von 0,5% so bleibt.