Exponentielles Wachstum/Logarithmieren - Aufgabenstellung zu negativem Wachstum (Zerfall)

Der Wirkstoff einer Schmerztablette wird im menschlichen Körper näherungsweise exponentiell abgebaut. Nimmt ein/e Patient*in eine Tablette, die 0,5g des Wirkstoffs enthält, so befinden sich nach 10 Stunden davon noch ca. 0,09g im Körper.

Bevor Untersuchungen zum Zerfallsprozess des Wirkstoffes im Körper gemacht werden können, muss zunächst die Funktionsgleichung bestimmt werden, die diesen Zerfallsprozess beschreibt.

Allgemein gilt für einen Zerfallsprozess, der mit Hilfe einer Exponentialfunktion mit der Basis e ausgedrückt wird, die folgende Formel: $f (x) = a e^{bx}$ mit $b < 0$ (Hinweis: Bei einem positiven Wachstumsprozess gilt die gleiche Formel nur mit $b > 0$ .

Seien x die Stunden, dann ergibt sich zunächst folgendes:
Zu Beginn, also nach x=0 Stunden, ist noch der gesamte Wirkstoff, also 0,5g vorhanden.

Eingesetzt in die Grundformel, erhält man also:

$\begin{matrix} f (0) = 0.5 \\ a e^{b \cdot 0} = 0.5 \\ a e^{0} = 0.5 \\ a \cdot 1 = 0.5 \\ a = 0.5 \end{matrix}$

Die Funktionsgleichung ist jetzt etwas genauer bekannt, es fehlt aber noch ein konkreter Wert für b:

$f (x) = 0.5 e^{bx}$

Es gibt ja noch eine 2. Bedingung, die besagt, dass nach 10 Stunden nur noch 0,09g des Wirkstoffes im Körper vorhanden sind:
Eingesetzt in die Formel, erhält man also:

$\begin{matrix} f (10) = 0.09 \\ 0.5 e^{b \cdot 10} = 0.09 \\ e^{10 b} = \frac{0.09}{0.5} \\ e^{10 b} = 0.18 \\ ln e^{10 b} = ln 0.18 \\ 10 b \approx -1.71480 \\ b \approx -0.17148 \end{matrix}$

Die Funktionsgleichung ist jetzt vollständig bekannt:

$f (x) \approx 0.5 e^{-0.17148 x}$

Berechne die Zeit, nach der die Hälfte des Wirkstoffes abgebaut ist.
Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müsste die Lösung herauskommen: Nach ca. 4,04 Stunden ist nur noch die Hälfte des Wirkstoffs im Körper vorhanden.
Bestimme danach die stündliche Zerfallsrate des Wirkstoffes in % und gebe die dazugehörige Exponentialfunktion an.

Hinweise zur Berechnung der Halbwertszeit:

Hinweis 1

Wie hoch ist Hälfte der ursprünglich vorhandenen Wirkstoffes?

Hinweis 2

Die Hälfte des ursprünglich vorhandenen Wirkstoffes ist $\frac{0.5}{2} = 0.25$ Gramm

Hinweis 3

Jetzt muss die zu lösende Gleichung unter Berücksichtigung des Wertes 0.25 aufgestellt werden.

Hinweis 4

Die zu lösende Gleichung lautet:

$0.5 e^{-0.17148 x} = 0.25$

Hinweis 5

Zunächst muss die 0.5 auf die rechte Seite gebracht werden.

Hinweis 6

$\begin{matrix} \frac{0.5}{0.5} \cdot e^{-0.17148 x} = \frac{0.25}{0.5} \\ e^{-0.17148 x} = 0.5 \end{matrix}$

Hinweis 7

Um an die benötigte Jahreszahl x zu kommen, muss logarithmiert werden.

Hinweis 8

Da die Basis der Potenz e ist, muss der natürliche Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung berechnet werden.

Hinweis 9

$\begin{matrix} ln e^{-0.17148 x} = ln 0.5 \end{matrix}$

Hinweis 10

Das ergibt dann:

$\begin{matrix} -0.17148 x \approx -0.69315 \end{matrix}$

Hinweis 11

Jetzt noch x umstellen:

$\begin{matrix} \frac{-0.17148}{-0.17148} \cdot x \approx \frac{-0.69315}{-0.17148} \\ x \approx 4,04216 \end{matrix}$

Hinweis 12

Nach ca. 4,04 Stunden ist mit 0,25g nur noch die Hälfte des ursprünglichen Wirkstoffes von 0,5g im Körper enthalten.
Man sagt auch die Halbwertszeit des Wirkstoffes im Körper beträgt 4,04 Stunden.

Hinweise zur Berechnung der Zerfallsrate:

Hinweis 1

In welchem Term der Exponentialfunktion

$f (x) \approx 0.5 e^{-0.17148 x}$

"versteckt" sich die Zerfallsrate?

Hinweis 2

Aus der e-Funktion muss zunächst wieder eine "normale" Exponentialfunktion gemacht werden.

Hinweis 3

Dazu kann das folgende Gesetz benutzt werden:

$b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x}$

Hinweis 4

Es wird das b in dem Gesetz
$b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x}$ benötigt.

Hinweis 5

Die Funktionsgleichung mit der Exponentialfunktion zur Basis e ist bekannt:

$f (x) \approx 0.5 e^{-0.17148 x}$

D.h. der umzuformende Term ist:
$e^{-0.17148 x}$

Hinweis 6

Vergleiche das Gesetz aus Hinweis 4 und den umzuformenden Term:

$\begin{matrix} b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x} \\ b^{x} = e^{(-0.17148) x} \end{matrix}$

Hinweis 7

Aus dem Vergleich des Gesetzes aus Hinweis 4 mit dem umzuformenden Term

$\begin{matrix} b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x} \\ b^{x} = e^{(-0.17148) x} \end{matrix}$

ergibt sich, dass

$ln b = -0.17148$

sein muss.

Hinweis 8

Die Umkehrfunktion der ln-Funktion ist die e-Funktion

Hinweis 9

Da die e-Funktion die Umkehrfunktion der ln-Funktion ist kann auf beiden Seiten die e-Funktion folgendermaßen eingesetzt werden:

$e^{ln b} = e^{-0.17148}$

Hinweis 10

Daraus ergibt sich:

$b \approx 0.84242$

Hinweis 11

Jetzt muss

$e^{(-0.17148) x}$

ersetzt werden durch

${0.84242}^{x}$

, da es ja das Gleiche ist.

Hinweis 12

Daraus ergibt sich:

$f (x) = 0.5 \cdot {0.84242}^{x}$

Hinweis 13

Wenn die Basis der Exponentialfunktion 1 wäre, dann würde weder Wachstum noch Zerfall stattfinden. Wie muss man die Basis schreiben, damit gilt 1 - z = 0.84242?

Hinweis 14

Man kann die Funktion

$f (x) = 0.5 \cdot {0.84242}^{x}$ auch folgendermaßen aufschreiben:

$f (x) = 0.5 \cdot {(1 - 0.15758)}^{x}$

Hinweis 15

Das bedeutet, dass der Wirkstoff im Körper stündlich um 15,758% abnimmt. Die Zerfallsrate des Wirkstoffs im Körper beträgt also ca. 15,8% pro Stunde.

Kompletter Lösungsweg

Die Hälfte des ursprünglich vorhandenen Wirkstoffes ist $\frac{0.5}{2} = 0.25$ Gramm

Die zu lösende Gleichung lautet:

$0.5 e^{-0.17148 x} = 0.25$

$\begin{matrix} \frac{0.5}{0.5} \cdot e^{-0.17148 x} = \frac{0.25}{0.5} \\ e^{-0.17148 x} = 0.5 \\ ln e^{-0.17148 x} = ln 0.5 \\ \begin{matrix} -0.17148 x \approx -0.69315 \\ \frac{-0.17148}{-0.17148} \cdot x \approx \frac{-0.69315}{-0.17148} \\ x \approx 4,04216 \end{matrix} \end{matrix}$

Die Berechnung der Zerfallsrate schließt sich jetzt an:

In der Exponentialfunktion

$f (x) \approx 0.5 e^{-0.17148 x}$

ist die Zerfallsrate "versteckt".

Um die Zerfallsrate zu finden, muss die e-Funktion wieder in eine "normale Exponentialfunktion umgebaut werden. Dazu wird das folgende Gesetz benutzt:

$b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x}$

Es wird das b in dem Gesetz
$b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x}$ benötigt.

Die Funktionsgleichung mit der Exponentialfunktion zur Basis e ist bekannt:

$f (x) \approx 0.5 e^{-0.17148 x}$

D.h. der umzuformende Term ist:
$e^{-0.17148 x}$

Aus dem Vergleich des umzuformenden Term mit dem eben genannten Gesetz ...

$\begin{matrix} b^{x} = e^{(\ln b) \cdot x} \\ b^{x} = e^{(-0.17148) x} \end{matrix}$

... ergibt sich, dass ...

$ln b = -0.17148$

... sein muss.

Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion und kann auf beiden Seiten folgendermaßen eingesetzt werden:

$e^{ln b} = e^{-0.17148}$

Und es ergibt sich:

$b \approx 0.84242$

Daraus folgt

$e^{(-0.17148) x} = {0.84242}^{x}$

und

$f (x) = 0.5 \cdot {0.84242}^{x}$

Diese Gleichung kann auch folgendermaßen aufgeschrieben werden:

$f (x) = 0.5 \cdot {(1 - 0.15758)}^{x}$

Das bedeutet, dass der Wirkstoff im Körper stündlich um 15,758% abnimmt. Die Zerfallsrate des Wirkstoffs im Körper beträgt also ca. 15,8% pro Stunde.

Wenn Du jetzt auf "Weiter" klickst, kommst Du wieder zurück zu der Startseite von WuLf.

Webprogrammierung und Inhalt: Dr. Dag Pechtel