Thema: Exponentialfunktion und Logarithmieren am Beispiel von Wachstumsprozessen

Wachstumsprozesse (oder auch Wachstumsvorgänge genannt) beschreiben die Zunahme (oder Abnahme) einer bestimmten Größe im Zeitverlauf.
So wächst beispielsweise die Weltbevölkerung oder ein bestimmter Geldbetrag aufgrund von Zinsen im Laufe der Zeit an. Macht man sich einen Kaffee und stellt ihn ab, so nimmt die Temperatur des Kaffees im Laufe der Zeit ab (Abnahme = negatives Wachstum).

Um Wachstumsprozesse mathematisch zu beschreiben, werden häufig lineare Funktionen oder Exponentialfunktion herangezogen.

Hier sollen die Exponentialfunktionen und die damit verbundene Rechenoperation des Logarithmierens wiederholt werden. Dabei steht das Lösen einer Exponentialgleichung im Vordergrund. Dazu wird das Logarithmieren benötigt.

Lineare Wachstumsprozesse

Exponentielle Wachstumsprozesse

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion für einen Wachstumsprozess (im Beispiel die Zinseszinsberechnung) lautet also:

$\mathrm{f(x)}=a·b^x$

Um nun herauszufinden, nach wie vielen Jahren man bei der 5%igen Verzinsung einen Betrag von 10000 € zusammen hat, muss die folgende Exponentialgleichung gelöst werden:

$2000·{1.05}^x=10000$

Zunächst wird die 2000 auf die rechte Seite gebracht, in dem durch 2000 dividiert wird:

$\frac{2000}{2000}·{1.05}^x=\frac{10000}{2000}$

${1.05}^x=5$

Da x die Zahl der Jahre repräsentiert, muss man jetzt an das x ran. Das steht aber im Exponenten. Um an den Exponenten heranzukommen, muss logarithmiert werden. Man benötigt hier den Logarithmus zur Basis 1,05 , der auf beiden Seiten berechnet werden muss:

${log}_{1.05}{1.05}^x={log}_{1.05}5$

$x={log}_{1.05}5$

Und wie wird nun der Logarithmus zur Basis 1,05 von 5 berechnet? Auf einem Taschenrechner wird man keine Taste lg1.05 oder so ähnlich finden. Man findet dort normalerweise nur die Tasten log (oder lg) und ln. Die Taste log ist eine Abkürzung für log₁₀ und die Taste ln steht für logarithmus naturalis. Das ist der Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl), also der log_e = log_2.17828....
Zur Lösung der Aufgabenstellung wird aber der log_1.5 benötigt.
Hier hilft das Logarithmusgesetz zur Basisumrechnung weiter:

Logarithmusgesetz zur Basisumrechnung

${log}_{\mathrm{b}}z=\frac{{log}_{\mathrm{a}}z}{{log}_{\mathrm{a}}b}$

, wobei a eine beliebige Basis sein darf.

Da a in der obigen Formel eine beliebige Basis sein darf, kann man für a die Basis 10 benutzen. Denn die Taste log auf dem Taschenrechner berechnet ja den log₁₀, also den Logarithmus zur Basis 10.

Ausgehend von

$x={log}_{1.05}5$ lässt sich nun also schreiben:

$x=\frac{{log}_{10}5}{{log}_{10}1.05}$

$x\approx \frac{0.69897}{0.02119}$

$x\approx 32.99$

Bei einem Zinssatz von 5% und einem Grundbetrag von 2000 € hat man nach fast 33 Jahren 10000 € zusammen.

Der gleiche Wachstumsprozess mit der Basis e

Da die Zahl e in der Mathematik eine wichtige Rolle spielt und es nicht immer Computeralgebrasysteme (CAS) wie Geogebra gab, kann es vorteilhaft sein, eine beliebige Basis wie z.B. 1.05 in die Basis e = 2.17828... umzurechnen.
Auch dazu gibt es ein Logarithmengesetz:

Umformung einer beliebigen Exponentialfunktion in eine e-Funktion

$b^x=e^{\left(\ln b\right)·x}$

Ausgehend von der Gleichung

$2000·{1.05}^x=10000$

lässt sich nun also schreiben:

$2000·e^{(ln\mathrm{1.05})·x}=10000$

$2000·e^{0.04879·x}\approx 10000$

und weiter rechnen:

$\frac{2000}{2000}·e^{0.04879x}\approx \frac{10000}{2000}$

$e^{0.04879x}\approx 5$

${log}_e{e}^{0.04879x}\approx {log}_{e}5$

$ln{e}^{0.04879x}\approx ln5$

$0.04879x\approx 1.60944$

$\frac{0.04879}{0.04879}x\approx \frac{1.60944}{0.04879}$

$x\approx 32.99$

Es kommt also genau das Gleiche heraus wie oben mit der Basis 1.05.

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, dann kannst Du dort nach und nach einige Übungsaufgaben zu exponentiellen Wachstumsfunktionen und ds Logarithmieren machen.
Wundere Dich nicht, dass dort schon das Ergebnis für die richtige Lösung angegeben ist. Das ist dafür, dass du feststellen kannst, ob du richtig gerechnet hast. Wenn Du das richtige Ergebnis heraus hast, klicke auf Lösung und vergleiche Deinen Lösungsweg mit der Musterlösung.
Wenn Du überhaupt nicht weißt, was Du machen sollst oder nicht die richtige Lösung herausbekommen hast, kannst Du Dir nach und nach Hinweise geben lassen und Dir zum Schluss die Musterlösung anzeigen lassen. Gehe mit den Hinweisen und der Musterlösung sorgfältig um. Klicke also erst Hinweis 1 an, wenn Du gar nicht weißt wie es los gehen soll. Klicke erst dann Hinweis 2, wenn Du nicht mehr weiter weißt usw.
Selbstbeschiss is' hier nicht angesagt.

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