Aufgabe 2 zur Lösung linearer Ungleichungen

Löse die folgende Ungleichung nach x auf. (Bestimme den Wert von x, so dass die folgende Ungleichung gilt)

2 x - 12 \leq 6 + 5 x

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müsste die Lösung x ≥ -6 herauskommen.

Hinweis 1

Jetzt wird die gleiche Zahl x gesucht, die diesmal an zwei verschiedenen Stellen in der Ungleichung eingesetzt wird. Diesmal soll auf der rechten Seite der Ungleichung diese Zahl erst mit 2 multipliziert und dann von dieser Zahl die Zahl 12 abgezogen werden. Das Ergebnis soll dann kleiner oder gleich dem Ergebnis sein, das man erhält, wenn man auf der rechten Seite die gleiche Zahl x erst mit 5 multipliziert und dann 6 hinzuaddiert.

Hinweis 2

Als erstes ordnet man solche Ungleichungen um. Auf der linken Seite sollen nach dem Umordnen alle Terme (in der mathematischen Praxis meint man damit einen Bestandteil einer Ungleichung, bestehend aus einer Kombination von Zahlen und Variablen) mit x stehen, hier also 5x und 2x.

Hinweis 3

Da auf der rechten Seite der Ungleichung 5x stehen, muss man auf der rechten und der linken Seite 5x abziehen:

Hinweis 4

$2 x - 12 - 5 x \leq 6 + 5 x - 5 x$

oder umgestellt

\begin{matrix} 2 x - 5 x - 12 \leq 6 + 5 x - 5 x \\ -3 x - 12 \leq 6 + 0 \\ -3 x - 12 \leq 6 \end{matrix}

Hinweis 5

Jetzt muss noch die -12 auf der linken Seite der Ungleichung weg. Das gelingt dadurch, dass auf beiden Seiten der Ungleichung 12 addiert wird.

Hinweis 6

$\begin{matrix} -3 x - 12 + 12 \leq 6 + 12 \\ -3 x - 0 \leq 18 \\ -3 x \leq 18 \end{matrix}$

Hinweis 7

Da auf der linken Seite der Gleichung das negative Dreifache der Zahl x steht, müssen jetzt noch beide Seiten der Ungleichung durch -3 dividiert werden.

Hinweis 8

Dadurch, dass durch eine negative Zahl (-3) dividiert wird, wird aus dem ≤ - Zeichen ein ≥ - Zeichen.

Hinweis 9

$\frac{-3 x}{-3} \geq \frac{18}{-3}$

Lösung

$\begin{matrix} 2 x - 12 \leq 6 + 5 x \\ 2 x - 12 - 5 x \leq 6 + 5 x - 5 x \\ 2 x - 5 x - 12 \leq 6 + 5 x - 5 x \\ -3 x - 12 \leq 6 + 0 \\ -3 x - 12 \leq 6 \\ -3 x - 12 + 12 \leq 6 + 12 \\ -3 x - 0 \leq 18 \\ -3 x \leq 18 \\ \frac{-3 x}{-3} \geq \frac{18}{-3} \\ x \geq -6 \end{matrix}$

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