Aufgabe 3 zur Lösung linearer Ungleichungen

Löse die folgende Ungleichung nach x auf. (Bestimme den Wert von x, so dass die folgende Ungleichung gilt)

\frac{1}{x} + 5 \geq 3

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müsste die Lösung $x \leq - \frac{1}{2}$ herauskommen.

Hinweis 1

Es wird die Zahl x gesucht, deren Kehrwert addiert mit der Zahl 5 größer oder gleich der Zahl 3 ist.

Hinweis 2

Als erstes wird die Ungleichung umgeordnet. Auf der linken Seite sollen nach dem Umordnen alle Terme (in der mathematischen Praxis meint man damit einen Bestandteil einer Ungleichung, bestehend aus einer Kombination von Zahlen und Variablen) mit x stehen, hier also $\frac{1}{x}$ . Dieser Term steht schon auf der linken Seite der Ungleichung.

Hinweis 3

Die Terme ohne x müssen auf die rechte Seite der Ungleichung gebracht werden.

Hinweis 4

$\begin{matrix} \frac{1}{x} + 5 \geq 3 \\ \frac{1}{x} + 5 - 5 \geq 3 - 5 \\ \frac{1}{x} + 0 \geq -2 \\ \frac{1}{x} \geq -2 \end{matrix}$

Hinweis 5

Da das x unter dem Bruchstrich, also im Nenner steht, muss jetzt noch der Kehrwert auf beiden Seiten der Ungleichung bestimmt werden.

Hinweis 6

$\begin{matrix} \frac{1}{\frac{1}{x}} \leq \frac{1}{-2} \\ x \leq - \frac{1}{2} \end{matrix}$

Weil der Kehrwert berechnet wird, wird aus dem ≥ - Zeichen ein ≤ - Zeichen

Lösung

$\begin{matrix} \frac{1}{x} + 5 \geq 3 \\ \frac{1}{x} + 5 - 5 \geq 3 - 5 \\ \frac{1}{x} + 0 \geq -2 \\ \frac{1}{x} \geq -2 \\ \frac{1}{\frac{1}{x}} \leq \frac{1}{-2} \\ x \leq - \frac{1}{2} \end{matrix}$

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