Thema: Lösen linearer Ungleichungen

In der Einleitung zu Ungleichungen auf der vorigen Seite wurde folgende Ungleichung aufgestellt, um herauszubekommen für welche zu druckenden Seitenzahl x die

Gesamtdruckkosten von Drucker 1 < Gesamtdruckkosten von Drucker 2

sind:

$\begin{array}{}200+\mathrm{0,2}x<300+\mathrm{0,1}x\end{array}$

Bei dieser Ungleichung handelt es sich um eine lineare Ungleichung. Wenn Du lineare Gleichungen lösen kannst, dann kannst Du bis auf eine Kleinigkeit, auch lineare Ungleichungen lösen. Falls Du Schwierigkeiten beim Lösen von linearen Gleichungen hast dann arbeite zunächst das Kapitel Lineare Gleichungen durch.

In dem Beispiel kann man also z.B. folgendermaßen vorgehen:

$\begin{array}{}200+\mathrm{0,2}x<300+\mathrm{0,1}x|\mathrm{-0,1x}200+\mathrm{0,1}x<300|-200\mathrm{0,1}x<100|·10x<1000\end{array}$

In dem vorigen Beispiel wurde die lineare Ungleichung umgestellt wie eine lineare Gleichung. Also noch nichts Neues.
Als Ergebnis kommt jetzt heraus, dass die Gesamtkosten für den Drucker 1 kleiner als die Gesamtkosten des Druckers 2 sind, wenn weniger als 1000 Seiten gedruckt werden (x<1000).

Man könnte die Eingangsfragestellung aus dem Beispiel aber auch umdrehen und fragen, ab welcher zu bedruckender Seitenzahl der Drucker 2 günstiger ist als der Drucker 1. Als Ungleichung ergibt sich bei dieser Fragestellung folgende zu lösende Ungleichung mit nachfolgendem Lösungsweg:

$\begin{array}{}300+\mathrm{0,1}x<200+\mathrm{0,2}x|\mathrm{-0,2x}300-\mathrm{0,1}x<200|-300\mathrm{-0,1}x<-100|·(-10)x<1000\end{array}$

Dieses Ergebnis ist aber falsch. Denn bei einer Seitenzahl kleiner als 1000 waren ja die Gesamtkosten für den den Drucker 1 kleiner als für den Drucker 2. Es müsste deshalb bei der neuen Fragestellung herauskommen, dass bei einer Seitenzahl größer als 1000 die Gesamtkosten für den Drucker 2 kleiner sind als für den Drucker 1.
Das Kleinerzeichen < müsste bei korrekter Rechnung ein Größerzeichen > sein.

Wenn man aus dem Kleiner- ein Größerzeichen machen würde, wäre das Ergebnis richtig. Warum ist das so?

Dazu das folgende einfache Beispiel:

$\begin{array}{}3<53<5|·(-1)-3>-5|·(-10)30<50|:(-2)-15>-25|:(-5)3<5|·618<30|:36<10|:23<5\end{array}$

Anhand dieses Beispiels ist gut nachvollziehbar, dass immer, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird, aus dem Kleinerzeichen ein Größerzeichen wird und umgekehrt. Dies gilt genauso für negative Brüche. Multipliziert man hingegen mit einer postiven Zahl oder dividiert man durch eine positive Zahl, dann bleibt das Zeichen so wie es ist.

Für das Rechnen mit Ungleichungen gelten unter anderem die folgenden Gesetze:

1. Aus a < b folgt b > a
2. Aus a < b folgt ca < cb , wenn c > 0
3. Aus a > b folgt ca > cb , wenn c > 0
4. Aus a < b folgt ca > cb , wenn c < 0
5. Aus a > b folgt ca < cb , wenn c < 0
6. Aus a ≤ b folgt b ≥ a
7. Aus a ≤ b folgt ca ≤ cb , wenn c ≥ 0
8. Aus a ≥ b folgt ca ≥ cb , wenn c ≥ 0
9. Aus a ≤ b folgt ca ≥ cb , wenn c ≤ 0
10. Aus a ≥ b folgt ca ≤ cb , wenn c ≤ 0

Eine weitere Regel soll auch an einem einfachen Beispiel veranschaulicht werden:

$\begin{array}{}10<100010<1000|\text{auf beiden Seiten den Kehrwert bilden}\frac{1}{10}>\frac{1}{1000}\mathrm{0,1}>\mathrm{0,001}\end{array}$

Auch dieses Beispiel kann verallgemeinert werden. Wird auf beiden Seiten einer Ungleichung der Kehrwert gebildet, dann wird aus dem Größer- ein Kleinerzeichen und umgekehrt.

Für das Rechnen mit Ungleichungen gelten weiterhin folgende Gesetze:

1. Aus $a<b$ folgt $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
2. Aus $a>b$ folgt $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
3. Aus $a\le b$ folgt $\frac{1}{a}\ge \frac{1}{b}$
4. Aus $a\ge b$ folgt $\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$

Wenn Du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, kannst Du noch Übungsaufgaben zu Ungleichungen lösen.