Thema: Ungleichungen
Zwei Werte a und b sind entweder gleich: a = b , z.B. 5 = 5
oder voneinander verschieden, also ungleich: a ≠ b , z.B. 5 ≠ 3
Ist a ≠ b sind zwei Fälle möglich:
Entweder ist a größer als b: a > b , z.B. 5 > 3
oder es ist a kleiner als b: a < b , z.B. 2 < 3
Das Größerzeichen und das Kleinerzeichen sind nach dem größeren Wert hin geöffnet.
Ist a einem Wert b höchstens gleich, so schreibt man a ≤ b.
Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass a kleiner oder gleich dem Wert b ist.
Es gilt z.B., dass 2 < 3 oder 3 = 3 ist. Die Werte a=2 und a=3 sind also kleiner oder gleich 3.
Ist a einem Wert b mindestens gleich, so schreibt man a ≥ b.
Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass a größer oder gleich dem Wert b ist.
Es gilt z.B., dass 5 > 3 oder 3 = 3 ist. Die Werte a=5 und a=3 sind also größer oder gleich 3.
Aber wozu das alles?
Anwendungsbeispiel für Ungleichungen
Was kann man mit Ungleichungen aber anfangen? Schaue Dir dazu die folgende Aufgabenstellung an:Du möchtest Dir einen Drucker zulegen, weißt aber nicht genau welcher Drucker (Anschaffungspreis + Druckkosten) für Dich günstiger ist.
Du hast bei Deiner Recherche zwei Drucker in Deine Vorauswahl genommen und willst Dich jetzt für den Drucker mit den wenigsten Gesamtkosten entscheiden.
- Drucker 1 hat einen Anschaffungspreis von 200€ und Druckkosten von 20 Cent pro gedruckter Seite.
- Drucker 2 hat einen Anschaffungspreis von 300€ und Druckkosten von 10 Cent pro gedruckter Seite.
Wenn man die Variable x für die noch unbekannte Seitenanzahl setzt, sind die Gesamtkosten für Drucker 1:
Druckst Du mit dem Drucker 1 z.B. 5000 Seiten, dann musst Du insgesamt bezahlen: 200,00€ für den Drucker und 0,20€/Seite multipliziert mit der Seitenanzahl 5000.
Es ergeben sich für den Drucker 1 also Gesamtkosten in Euro von 200,00 + 0,20 · 5000 = 200,00 + 1000,00 = 1200,00.
Für die Gesamtkosten des Druckers 2 ergeben sich entsprechend:
Druckst Du mit dem Drucker 2 z.B. 5000 Seiten, dann musst Du insgesamt bezahlen: 300,00€ für den Drucker und 0,10€/Seite multipliziert mit der Seitenanzahl 5000.
Es ergeben sich für den Drucker 2 also Gesamtkosten in Euro von 300,00 + 0,10 · 5000 = 200,00 + 500,00 = 700,00.
Es stellt sich also heraus, dass bei gedruckten 5000 Seiten die Gesamtkosten für Drucker 1 größer sind als die Gesamtkosten von Drucker 2:
Du willst jetzt aber nicht durch Einsetzen weiterer zu druckender Seitenzahl durch Probieren herausfinden, bis zu welcher Seitenanzahl die Gesamtkosten für Drucker 1 günstiger sind als für den Drucker 2, sondern Du willst diese Seitenzahl genau ausrechnen.
Dazu kannst Du nun die folgende Ungleichung aufstellen, mit der sich diese Seitenzahl x genau berechnen lässt:
Hinter dieser Ungleichung verbirgt sich jetzt die Fragestellung, für welche x, also für welche Seitenzahlen, hat die linke Seite der Ungleichung kleinere Werte als die rechte Seite der Ungleichung. Oder anders gesagt: Für welche Seitenzahlen sind die Gesamtkosten für den Drucker 1 (linke Seite der Ungleichung) kleiner als die Gesamtkosten für den Drucker 2 (rechte Seite der Ungleichung). Dies ist aber genau die Fragestellung zu Beginn dieses Beispiels.
Wenn du auf die Schaltfläche "Weiter" klickst, wird Dir Schritt für Schritt erklärt wie Du eine solche Ungleichung löst.
Also jetzt geht's los. Klicke auf "Weiter".
