Übungsaufgabe zu: Kostenfunktion, Erlösfunktion, Gewinnfunktion und deren Zusammenhang im Polypol und Monopol

Um die Erlösfunktion aufzustellen, muss zunächst analysiert werden, welche Hinweise zur Erlösfunktion in der Aufgabenstellung enthalten sind.

Direkte Hinweise zur Erlösfunktion sind in Aufgabenstellung nicht enthalten, aber indirekte Hinweise.

Die Erlösfunktion erechnet sich aus der Preisfunktion: E(x) = p(x)·x. Hinweise zur Preisfunktion sind in der Aufgabenstellung dirket enthalten.

Folgende Hinweise für die Preisfunktion sind in der Aufgabenstellung direkt enthalten:

• Es handelt sich um einen monopolistischen Markt.
• Der Höchstpreis p_max = 49 GE/ME.
• Der minimale Preis ist p_min = 0 GE/ME und wird bei der Sättigungsgrenze x_s = 7 ME erzielt.

Die Hinweise für die Preisfunktion können folgendermaßen mathematisiert werden:

• Auf einem monopolistischen Markt ist die Preisfunktion linear und hat die folgende Form: p(x) = ax + b.
• Der Höchstpreis p_max = 49 GE/ME --> p(0) = 49.
• Der minimale Preis ist p_min = 0 GE/ME und wird bei der Sättigungsgrenze x_S = 7 ME erzielt. --> p(7) = 0.

Die Preisfunktion hat also die beiden Unbekannten a und b. Ferner sind zwei Bedingungen für die Preisfunktion gegeben. D.h. es gibt genauso viele Unbekannte wie es Bedingungen gibt und es müsste eine eindeutige Lösung für die Preisfunktion geben.

Mit der Bedingung p(0) = 49 ist b direkt gegeben, da ja gilt p(x)=ax+b --> p(0) = a·0 + b --> p(0) = b.

--> b = 49

p(x) = ax + 49

Es muss also nur noch a bestimmt werden.

Um a in p(x) = ax + 49 zu bestimmen, wird die zweite Bedingung p(7) = 0 benötigt.

Gegeben sind p(x) = ax + 49 und p(7) = 0

--> p(7) = a·7 + 49 = 0

--> 7a + 49 = 0

--> 7a = -49

--> a = -7

--> Preisfunktion: p(x) = -7x + 49

Jetzt kann die Erlösfunktion bestimmt werden.

Mit p(x) = -7x + 49 kann jetzt E(x) bestimmt werden:

E(x) = p(x)·x

E(x) = (-7x + 49)·x
Bemerkung: Die Klammer ist wichtig, da sonst Punkt- vor Strichrechnung gilt und nur 49 mit x multipliziert würde.

Erlösfunktion: E(x) = -7x² + 49x

Um die Gesamtkostenfunktion aufzustellen, muss zunächst analysiert werden, welche Hinweise zur Gesamtkostenfunktion in der Aufgabenstellung enthalten sind.

In der Aufgabenstellung sind folgende direkte Hinweise zur Gesamtkostenfunktion enthalten:

• Es handelt sich um eine ertragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion.
• Die Fixkosten K_f = 32 GE.
• Bei einer Produktion von 4 ME hat das Unternehmen Kosten von 60 GE.
• Die Kapazitätsmenge entspricht bei diesem Unternehmen der Sättigungsgrenze.
  Hier entstehen die höchsten Produktionskosten mit 186 GE.
• Der degressive Kostenverlauf geht bei einer Produktion von 2 ME in einen progressiven Kostenverlauf über.

Die Hinweise für die Preisfunktion können folgendermaßen mathematisiert werden:

• Ertragsgesetzliche Gesamtkostenfunktion --> K(x) = ax³ + bx² + cx + d
• Die Fixkosten K_f = 32 GE --> K(0) = 32
• Bei einer Produktion von 4 ME hat das Unternehmen Kosten von 60 GE --> K(4) = 60
• Die Kapazitätsmenge entspricht bei diesem Unternehmen der Sättigungsgrenze --> x_kap = x_s = 7
  Hier entstehen die höchsten Produktionskosten mit 186 GE --> K(7) = 186
• Der degressive Kostenverlauf geht bei einer Produktion von 2 ME in einen progressiven Kostenverlauf über. Wenn eine Funktion von einem degressiven in einen progressiven Verlauf wechselt, dann ist dort eine Wendestelle. Das heißt, dass die zweite Ableitungsfunktion K'' dieser Funktion dort eine Nullstelle hat --> K''(2) = 0

Die Gesamtkostenfunktion hat also die vier Unbekannten a, b, c und d. Ferner sind vier Bedingungen für die Gesamtkostenfunktion gegeben. D.h. es gibt genauso viele Unbekannte wie es Bedingungen gibt und es müsste eine eindeutige Lösung für die Gesamtkostenfunktion geben.

Mit K(x) = ax³ + bx² + cx + d

und den vier Bedingungen:

(1) K(0) = 32

(2) K(4) = 60

(3) K(7) = 186

(4) K''(2) = 0

lässt sich jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstellen, das sich dann mit Geogebra lösen lässt.

Aufstellen des linearen Gleichungssystems mit K(x) = ax³ + bx² + cx + d

und den vier Bedingungen:

(1) K(0) = 32 --> a·0³ + b·0² + c·0 + d = 32 --> d = 32

(2) K(4) = 60 --> a·4³ + b·4² + c·4 + d = 60 --> 64a + 16b + 4c + d = 60

(3) K(7) = 186 --> a·7³ + b·7² + c·7 + d = 60 --> 343a + 49b + 7c + d = 186

(4) K''(2) = 0 --> Hier muss zunächst die zweite Ableitungsfunktion berechnet werden:

      Erste Ableitungsfunktion: K'(x) = 3ax² + 2bx + c
      Zweite Ableitungsfunktion: K''(x) = 6ax + 2b

      Mit K''(2) = 0 folgt daraus:

      K''(2) = 6a·2 + 2b = 0 --> 12a + 2b = 0

Da die erste Gleichung des Gleichungssystems d = 32 lautet, kann in den Gleichungen (2) - (4) zunächst einmal d durch 32 ersetzt werden und dann die Gleichungen so umgestellt werden, dass auf der linken Seite jeweils nur die Terme mit den Unbekannte a,b und c stehen:

(2) 64a + 16b + 4c + 32 = 60 --> 64a + 16b + 4c = 28

(3) 343a + 49b + 7c + 32 = 186 --> 343a + 49b + 7c = 154

(4) 12a + 2b = 0 (Bemerkung: Hier muss nichts weiter gemacht werden, da in dieser Gleichung kein d enthalten ist.)

Es wird jetzt also ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den 3 Unbekannten a,b und c erhalten.

Diese drei Gleichungen können jetzt in Geogebra eingegeben werden, wobei man die Buchstaben a,b, und c durch x, y un z ersetzen sollte, damit Geogebra a, b und c nicht für Parameter hält:

(2) 64a + 16b + 4c = 28 --> 64x + 16y + 4z = 28

(3) 343a + 49b + 7c = 154 --> 343x + 49y + 7z = 154

(4) 12a + 2b = 0 --> 12x + 2y = 0

Man muss die CAS-Ansicht in Geogebra einschalten. Nachdem dann die 3 Gleichungen in Geogebra eingegeben wurden, müsste es folgendermaßen aussehen:

Wenn jetzt mit Hilfe der gedrückten Strg-Taste alle drei Gleichungen markiert werden und dann mit Hilfe des Menüpunktes Lösen das Gleichungssystem gelöst wird, dann zeigt Geogebra folgendes an:

Als Lösung des Gleichungssystems berechnet Geogebra x = 1, y = -6 und z = 15. Da zuvor a, b und c durch x, y und z ersetzt wurden, ergibt sich als Lösung des Gleichungssystems als a = 1, b = -6 und c = 15.

Mit a = 1, b = -6, c = 15 und d =32 ergibt sich nun die folgende Gesamtkostenfunktion:

K(x) = 1·x³ - 6·x² + 15·x + 32

also

K(x) = x³ - 6x² + 15x + 32

Um die Gewinnfunktion aufzustellen, muss zunächst analysiert werden, welche Hinweise zur Gewinnfunktion in der Aufgabenstellung enthalten sind.

Zur Gewinnfunktion sind überhaupt keine direkten Hinweise enthalten. Es sind nur direkte Hinweise zur Preisfunktion und damit indierekte Hinweise zur Erlösfunktion und direkte Hinweise zur Gesamtkostenfunktion in der Aufgabenstellung enthalten. Es sind also nur sehr indirekt Hinweise zur Gewinnfunktion in der Aufgabenstellung enthalten, da sich die Gewinnfunktion aus der Erlös- und der Gesamtkostenfunktion ergibt. Deshalb müssen vor der Lösung dieser Aufgabenstellung erst die Erlösfunktion und die Gesamtkostenfunktion bestimmt werden.

Für die Gewinnfunktion gilt formal: G(x) = E(x) - K(x)

Mit E(x) = -7x² + 49x

und

K(x) = x³ - 6x² + 15x + 32

ergibt sich

G(x) = E(x) - K(x)

G(x) = (-7x² + 49x) - (x³ - 6x² + 15x + 32)
Bemerkung: Lieber erstmal Klammern um beide Ausdrücke für E(x) und K(x) machen, um zu verdeutlichen, dass es sich hier ursprünglich um 2 Funktionen handelt.

G(x) = (-7x² + 49x) - (x³ - 6x² + 15x + 32)

Die erste Klammer kann einfach weggelassen werden, da kein Minuszeichen vor der Klammer steht. Bei der zweiten Klammer ist dies anders. Vor dieser steht ein Minuszeichen. D.h. die Vorzeichen in der Klammer "drehen sich um".

G(x) = -7x² + 49x - x³ + 6x² - 15x - 32

Jetzt noch nach Potenzen ordnen:

G(x) = -x³ - 7x² + 6x² + 49x - 15x - 32

und zusammenfassen:

G(x) = -x³ - x² + 34x - 32

Gewinnfunktion: G(x) = -x³ - x² + 34x - 32

Es soll die Menge des maximalen Erlöses und der maximale Erlös selbst berechnet werden. Es wird also die Erlösfunktion E(x) benötigt.

Da der maximale Erlös E_max und die zugehörige Menge bestimmt werden soll, muss zunächst die Maximumstelle der Erlösfunktion berechnet werden.

Da bei der Maximumstelle einer Funktion f die Steigung des Graphen der Funktion 0 ist und die Steigung einer Funktion an jeder Stelle durch die Funktionwerte der 1. Ableitungsfunktion f' dieser Funktion bestimmt ist, muss die 1. Ableitungsfunktion E' der Erlösfunktion E bestimmt werden.

Bestimmung der 1. Ableitungsfunktion E' der Erlösfunktion E:

E(x) = -7x² + 49x

E'(x) = -14x + 49

Bestimmung Maximumstelle von E, also der Stelle, an der die Steigung der Funktion gleich 0 ist:

E'(x) = 0

-14x + 49 = 0

-14x = -49

14x = 49

x = $\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$

x = 3,5

Bemerkung: Da der Graph der Erlösfunktion E(x) = -7x² + 49x eine ganzrationale Funktion 2. Grades und wegen des negativen Formfaktors a = -7 eine nach unten geöffnete Parabel ist, muss hier nicht mit der 2. Ableitung der Funktion E überprüft werden, ob es sich bei x = 3,5 um eine Maximum- oder Minimumstelle oder überhaupt um eine solche Stelle handelt (es könnte ja bei höhergradigen Funktionen auch ein Sattelpunkt sein), sondern es muss sich bei einem solchen Verlauf um eine Maximumstelle handeln.

Der Erlös ist also bei einer Menge von x = 3,5 ME maximal.

Der Erlös ist maximal bei x = 3,5 ME. Jetzt muss noch der maximale Erlös E_max berechnet werden.

In welche Funktion muss jetzt x = 3,5 ME eingesetzt werden.

x = 3,5 ME muss in die Erlösfunktion eingesetzt werden, da diese ja zu jeder Menge x, die entsprechende Erlöse als Funktionswerte hat.

Bemerkung: würde x = 3,5 in die erste Ableitungsfunktion E' eingesetzt, dann würde 0 herauskommen. Mit dem Ansatz E'(x)=0 wurde ja die erlösmaximale Menge x = 3,5 durch Ustellen berechnet. Würde man also x = 3,5 wieder in E'(x) einsetzen, wird nur die Probe gemacht, ob wirklich 0 heraus kommt.

Berechnung der maximalen Erlöses E_max:

E(x) = -7x² + 49x

E_max = E(3,5) = -7·3,5² + 49·3,5

E_max = -7·12,25 + 49·3,5

E_max = -85,75 + 171,5

E_max = 85,75

Der maximale Erlös von 85,75 GE wird bei einer Produktionsmenge von 3,5 ME erzielt.

Die Gewinnschelle x_gs ist die Menge, bei der der Gewinn erstmals von negativen Gewinnen(Verlusten) zu positiven Gewinnen übergeht.

Die Gewinngrenze x_gg ist die Menge, bei der der Gewinn wieder von positiven Gewinnen zu negativen Gewinnen (Verlusten) übergeht.

Die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze sind also Nullstellen der Gewinnfunktion.

Da die Gewinnschwelle x_gs und die Gewinngrenze x_gg Nullstellen der Gewinnfunktion sind, muss die Gewinnfunktion G(x) zunächst gleich 0 gesetzt werden und dann nach x umgestellt werden.

Gewinnfunktion: G(x) = -x³ - x² + 34x - 32

G(x) = 0

-x³ - x² + 34x - 32 = 0

Da die Gleichung -x³ - x² + 34x - 32 = 0
eine Funktion 3. Grades ist und ein Term ohne x (also -32) vorkommt, lässt sich diese Funktion manuell , z.B. durch Ausklammern, nicht lösen. Es muss also ein Näherungsverfahren (z.B. Newton-Verfahren) oder Geogebra zur Lösung herangezogen werden.

Bestimmung der Nullstellen der Funktion G(x) mit Geogebra:

1. Möglichkeit:

In die Eingabezeile von Geogebra eingeben: G(x)=-x^3-x^2+34x-32

Dann erscheint im Algebrabereich:



Dann in die Eingabezeile von Geogebra eingeben: Nullstelle(G(x), 0, 7)
Das bedeutet, dass Geogebra die Nullstelle zwischen x=0 und x=7 (Kapazitätsgrenze) berechnen soll.

Geogebra gibt im Algebrabereich aus:

Geogebra berechnet also nur die Nullstelle x=1 im Intervall [0;7]. Es müsste aber noch eine weitere geben.

Der Graph der der Gewinnfunktion wird von Geogebra folgendermaßen angezeigt:



Geogebra hat also eben nur die erste Nullstelle im Intervall [0;7] berechnet. Um auch die zweite Nullstelle zu berechnen, muss das Intervall so eingeschränkt werden, dass die zweite Nullstelle in dem Intervall liegt, die erste Nullstelle aber nicht mehr, z.B.: Nullstelle(G(x), 4, 7)

Jetzt wird auch die 2. Nullstelle berechnet:



Die Lösung: Die Gewinnschwelle liegt bei einer Produktionsmenge von 1 ME. Die Gewinngrenze liegt bei einer Produktionsmenge von 4,74 ME.


2. Möglichkeit:

Im CAS-Bereich von Geogebra eingeben:



Wenn jetzt auf den Menüpunkt "Lösen" geklickt wird, wird die Gleichung exakt gelöst:



Wird stattdessen auf den Menüpunkt "Lösen numerisch" geklickt, dann wird die Gleichung gerundet, also nur ungefähr, aber trotzdem sehr genau gelöst:



Geogebra berechnet drei Lösungen der Gleichung -x³ - x² + 34x - 32 = 0

x=-6,74 , x=1 und x=4,74

Dies sind also die Nullstellen der Funktion G(x), wobei x=-6,74 nicht im D_ök einer Gewinnfunktion liegt, da der Wert negativ ist. x=1 und x=4,74 liegen aber beide im ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich D_ök = [0 ; 7] der Gewinnfunktion G(x).

Die Lösung: Die Gewinnschwelle liegt bei einer Produktionsmenge von 1 ME. Die Gewinngrenze liegt bei einer Produktionsmenge von 4,74 ME.

Um den Stückpreis bei gewinnmaximaler Ausbringungsmenge unnd den maximalen Gewinn bestimmen zu können, muss zunächst die gewinnmaximale Ausbringungsmenge berechnet werden. Dazu wird die Gewinnfunktion G(x) benötigt. Um den Stückpreis bei gewinnmaximaler Ausbringungsmenge zu bestimmen, wir die Preisfunktion p(x) benötigt

Zunächst soll sich um G_max und die zugehörige Menge gekümmert werden. Dazu muss zunächst die Maximumstelle der Gewinnfunktion berechnet werden.

Da bei der Maximumstelle einer Funktion f die Steigung des Graphen der Funktion 0 ist und die Steigung einer Funktion an jeder Stelle durch die Funktionwerte der 1. Ableitungsfunktion f' dieser Funktion bestimmt ist, muss die 1. Ableitungsfunktion G' der Gewinnfunktion G bestimmt werden.

Bestimmung der 1. Ableitungsfunktion G' der Erlösfunktion G:

G(x) = -x³ - x² + 34x - 32

G'(x) = -3x² -2x + 34

Bestimmung Maximumstelle von G also der Stelle, an der die Steigung der Funktion gleich 0 ist:

G'(x) = 0

-3x² -2x + 34 = 0


1. Möglichkeit: Lösen mit der pq-Formel

Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, kann diese mit der pq-Formel (siehe auch das Thema "pq-Formel") gelöst werden.

Dazu muss die quadratische Gleichung zunächst in die Normalform x² + px + q = 0 gebracht werden.

Beide Seiten der Gleichung müssen also durch -3 dividiert werden:

$x^2+\frac{2}{3}x-\frac{34}{3}=0$

Es ergibt sich $p=\frac{2}{3}$ und $q=-\frac{34}{3}$

Mit der pq-Formel ergibt sich dann:

$x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{\frac{2}{3}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{\frac{2}{3}}{2}\right)}^2+\frac{34}{3}}$

$x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{2}{6}\pm \sqrt{{\left(\frac{2}{6}\right)}^2+\frac{34}{3}}$

$x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{2}{6}\pm \sqrt{\frac{4}{36}+\frac{408}{36}}$

$x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{2}{6}\pm \frac{\sqrt{412}}{6}$

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{412}}{6}$

$x_{\mathrm{1,2}}\approx \frac{-2\pm \mathrm{20,30}}{6}$

$x_1\approx \frac{-2-\mathrm{20,30}}{6}\approx \mathrm{-3,72}$

$x_2\approx \frac{-2+\mathrm{20,30}}{6}\approx \mathrm{3,05}$

x ≈ -3,72 liegt außerhalb des ökonomisch sinnvollen Definitionsbereichs D_ök = [0 ; 7]. Die einzig sinnvolle Extremstelle liegt also bei x ≈ 3,05.

Jetzt muss formal noch gezeigt werden, dass x ≈ 3,05 eine Maximumstelle ist. Dazu muss gelten G''(x) < 0.

G(x) = -x³ - x² + 34x - 32

G'(x) = -3x² -2x + 34

G''(x) = -6x - 2

G''(3,05) = -6 · 3,05 - 2 = -20,3 < 0

Der Gewinn ist also bei einer Menge von x = 3,05 ME maximal.


2. Möglichkeit: Lösen mit Geogebra

In Geogebra muss die Gleichung -3x² -2x + 34 = 0 in den CAS-Bereich eingegeben werden und dann auf "Lösen numerisch" geklickt werden:



Und das Anzeigen der Gewinnfunktion mit Geogebra zeigt, dass bei x ≈ 3,05 das Maximum liegt.



Der Gewinn ist also bei einer Menge von x = 3,05 ME maximal.

Der Gewinn ist maximal bei x = 3,05 ME. Jetzt soll zunächst der Stückpreis bei der gewinnmaximalen Ausbringungsmenge berechnet werden.

In welche Funktion muss jetzt x = 3,05 ME eingesetzt werden.

x = 3,05 ME muss in die Preisfunktion eingesetzt werden, da diese ja zu jeder Menge x, die entsprechenden Stückpreise als Funktionswerte hat.

Jetzt muss noch der maximale Gewinn G_max berechnet werden. Der Gewinn ist maximal bei x = 3,05 ME.

In welche Funktion muss jetzt x = 3,05 ME eingesetzt werden.

x = 3,05 ME muss in die Gewinnfunktion eingesetzt werden, da diese ja zu jeder Menge x, die entsprechende Erlöse als Funktionswerte hat.

Bemerkung: würde x = 3,05 in die erste Ableitungsfunktion G eingesetzt, dann würde 0 herauskommen. Mit dem Ansatz G'(x)=0 wurde ja die gewinnmaximale Menge x = 3,05 durch Umstellen berechnet. Würde man also x = 3,05 wieder in G'(x) einsetzen, wird nur die Probe gemacht, ob wirklich 0 heraus kommt.

Berechnung des maximalen Gewinns G_max:

G(x) = -x³ - x² + 34x - 32

G_max = G(3,05) = -3,05³ - 3,05² + 34·3,05 - 32

G_max ≈ -28,37 - 9,30 + 103,7 - 32

G_max = 34,03

Der maximale Gewinn von 34,03 GE wird bei einer Produktionsmenge von 3,05 ME erzielt.