Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen

Eine Person erhält bei einer Apfelaufteilung $\frac{2}{3}$ Äpfel. Dann nimmt man dieser Person wieder $\frac{3}{5}$ Äpfel weg. Danach bekommt Sie wieder $\frac{2}{6}$ Äpfel dazu und dann isst sie $\frac{4}{10}$ Äpfel auf. Dann hat diese Person noch

$\frac{2}{3} - \frac{3}{5} + \frac{2}{6} - \frac{4}{10} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 10}{3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 10}{5 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 10} + \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 10}{6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 10} - \frac{4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6}{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{600}{900} - \frac{540}{900} + \frac{300}{900} - \frac{360}{900} = \frac{600 - 540 + 300 - 360}{900} = \frac{0}{900} = 0$

Äpfel. Also gar keinen Apfel mehr.

Jeder einzelne der 4 Brüche wurde hier so erweitert, dass die jeweiligen Nenner unter dem Bruchstrich gleichnamig gemacht wurden. Diesen Vorgang nennt man das Gleichnamigmachen von Brüchen.

Ungleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie zunächst gleichnamig macht und erst dann addiert oder subtrahiert.

$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{d} = \frac{a \cdot d}{c \cdot d} \pm \frac{b \cdot c}{d \cdot c} = \frac{a \cdot d}{c \cdot d} \pm \frac{b \cdot c}{c \cdot d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{c \cdot d}$

Die im Beispiel dargestellte Methode des Gleichnamigmachens funktioniert immer, führt aber bei zunehmender Anzahl von Brüchen zunächsteinmal zu immer größer werdenden Zahlen und ist damit wenig elegant.

Eleganter ist die Methode, zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der gleichnamig zu machenden Nenner zu finden:

Bezogen auf die Nenner 3, 5, 6 und 10 aus dem obigen Beispiel ergeben sich folgende Vielfache:

Die Vielfachen von $3$ sind: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,$ ...

Die Vielfachen von $5$ sind: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,$ ...

Die Vielfachen von $6$ sind: $6, 12, 18, 24, 30, 36,$ ...

Die Vielfachen von $10$ sind: $10, 20, 30, 40,$ ...

Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 3, 5, 6 und 10 ist $30$ . Es ist die kleinste Zahl, die bei allen 4 Nennern gleich ist. Auf die 30 würde man ohne Probieren noch eleganter kommen, wenn man vorher eine Primfaktorzerlegung der einzelnen Nenner machen würde. Auf dieses Verfahren soll an dieser Stelle aber nicht eingegangen werden.

Jetzt muss jeder Bruch so erweitert werden, dass im Nenner jeweils 30 steht:

$\frac{2}{3} - \frac{3}{5} + \frac{2}{6} - \frac{4}{10} = \frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} - \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{2 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{20}{30} - \frac{18}{30} + \frac{10}{30} - \frac{12}{30} = \frac{20 - 18 + 10 - 12}{30} = \frac{0}{30} = 0$

Aufgabe

Errechne das Ergebnis und kürze am Ende soweit wie möglich.

\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{5}{4}

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müsste die Lösung $\frac{4}{3}$ herauskommen.

Hinweis 1

Der Nenner ist nicht überall der gleiche, d.h. Du musst die Nenner gleichnamig machen.

Hinweis 2

Das Geichnamigmachen geht ohne viel nachzudenken, indem Du alle 4 Nenner miteinander multiplizierst. Der gemeinsame Nenner beträgt dann $3 \cdot 12 \cdot 4 = =144$ .

Hinweis 3

Die Brüche müssen jetzt so erweitert, dass im Nenner jedesmal 144 steht.

Hinweis 4

Das Erweitern der Brüche, so dass im Nenner jedesmal 144 steht geht so: $\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{3 \cdot 12 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 3 \cdot 4}{12 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{144} - \frac{7 \cdot 3 \cdot 4}{144} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 12}{144}$

Hinweis 5

Da der Nenner jetzt überall der gleiche ist, darfst Du den Nenner unter einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben und auf dem Bruchstrich kannst Du einfach alle Zähler mit dem entsprechenden Rechenoperator hintereinander hinschreiben. $\frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{144} - \frac{7 \cdot 3 \cdot 4}{144} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 12}{144} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4 - 7 \cdot 3 \cdot 4 + 5 \cdot 3 \cdot 12}{144}$

Hinweis 6

Es müsste jetzt $\frac{192}{144}$ herauskommen. Falls nicht, hast du evtl. nicht darauf geachtet, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt. Jetzt muss Du noch kürzen.

Hinweis 7

Zum Kürzen musst Du sowohl im Zähler als auch im Nenner durch die gleiche Zahl teilen, so dass im Zähler und im Nenner wieder eine ganze Zahl herauskommt.

Hinweis 8

Da es hier schwierig ist, auf den ersten Blick zu erkennen durch welche Zahl man Zähler und Nenner teilen muss, um möglichst weit zu kürzen, kann man erst einmal mit 2 kürzen:

$\frac{192}{144} = \frac{192 / 2}{144 / 2} = \frac{96}{72}$

Hinweis 9

$\frac{96}{72}$ kann man jetzt wieder durch 2 kürzen. Du wirst feststellen, dass man das noch öfter machen kann. Falls das Kürzen mit 2 nicht mehr geht, probiere auch andere Primzahlen (3,5,7,11,13,...) aus.

Lösung

$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{3 \cdot 12 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 3 \cdot 4}{12 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{144} - \frac{7 \cdot 3 \cdot 4}{144} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 12}{144} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4 - 7 \cdot 3 \cdot 4 + 5 \cdot 3 \cdot 12}{144} = \frac{192}{144} = \frac{192 / 2}{144 / 2} = \frac{96}{72} = \frac{96 / 2}{72 / 2} = \frac{48}{36} = \frac{48 / 2}{36 / 2} = \frac{24}{18} = \frac{24 / 2}{18 / 2} = \frac{12}{9} = \frac{12 / 3}{9 / 3} = \frac{4}{3}$

Alternative Lösung mit kleinstem gemeinsamen Vielfachen

$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{5}{4}$

Vielfache von 3 sind: 3, 6, 9, 12, ...
Vielfache von 12 sind: 12, 24, 36, 48, ...
Vielfache von 4 sind: 4, 8, 12, 16, ...

Das kleinste gemeinsame Vielfach ist also 12. Der erste und der dritte Bruch müssen also so erweitert werden, dass im Nenner 12 steht. Der zweite Bruch kann unverändert bleiben, da dort schon 12 im Nenner steht.

$\frac{2}{3} - \frac{7}{12} + \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{7}{12} + \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{8}{12} - \frac{7}{12} + \frac{15}{12} = \frac{8 - 7 + 15}{12} = \frac{16}{12} = \frac{16 / 4}{12 / 4} = \frac{4}{3}$

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