Eine gemischte Aufgabe zur Bruchrechnung

Errechne das Ergebnis und kürze am Ende soweit wie möglich.

\frac{(\frac{2}{5} + \frac{3}{7}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}}

Probiere es erst ohne jeglichen Hinweis. Es müsste die Lösung $\frac{87}{11}$ herauskommen.

Hinweis 1

Im ersten Schritt müssen im Zähler die beiden Brüche im in den Klammern addiert werden, denn Klammerrechnung geht vor Punktrechnung. Da die beiden Brüche in der Klammer ungleichnamig sind, müssen diese zunächst durch Erweitern gleichnamig gemacht werden.

$\frac{(\frac{2}{5} + \frac{3}{7}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{(\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{(\frac{14}{35} + \frac{15}{35}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{29}{35} \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}}$

Hinweis 2

Jetzt können im Zähler die beiden Brüche miteinander multipliziert werden:

$\frac{\frac{29}{35} \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{29 \cdot 7}{35 \cdot 4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}}$

Hinweis 3

Im Nenner müssen zunächst einmal die Brüche multipliziert werden, da Punkt- vor Strichrechnung gilt:

$\frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{4 \cdot 5}{8 \cdot 6}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{20}{48}}$

Hinweis 4

Jetzt müssen die beiden Brüche im Nenner voneinander subtrahiert werden. Da sie ungleichnamig sind, müssen sie vorher durch Erweitern gleichnamig gemacht werden.

$\frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{20}{48}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3 \cdot 48}{5 \cdot 48} - \frac{20 \cdot 5}{48 \cdot 5}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{144}{240} - \frac{100}{240}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{44}{240}}$

Hinweis 5

Da zwei Brüche durcheinander geteilt werden, muss jetzt der Bruch im Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner multipliziert werden.

$\frac{\frac{203}{140}}{\frac{44}{240}} = \frac{203}{140} \cdot \frac{240}{44}$

Hinweis 6

Jetzt müssen die beiden Brüche miteinander multipliziert werden:

$\frac{203}{140} \cdot \frac{240}{44} = \frac{203 \cdot 240}{140 \cdot 44} = \frac{48720}{6160}$

Hinweis 7

Jetzt muss noch gekürzt werden:

$\frac{48720}{6160} = \frac{48720 / 2}{6160 / 2} = \frac{24360}{3080} = \frac{24360 / 2}{3080 / 2} = \frac{12180}{1540} = \frac{12180 / 2}{1540 / 2}$

$= \frac{6090}{770} = \frac{6090 / 2}{770 / 2} = \frac{3045}{385} = \frac{3045 / 5}{385 / 5} = \frac{609}{77} = \frac{609 / 7}{77 / 7} = \frac{87}{11}$

Lösung

$\begin{matrix} \frac{(\frac{2}{5} + \frac{3}{7}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{(\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{(\frac{14}{35} + \frac{15}{35}) \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{29}{35} \cdot \frac{7}{4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} \\ = \frac{\frac{29 \cdot 7}{35 \cdot 4}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{4}{8} \cdot \frac{5}{6}} \\ = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{4 \cdot 5}{8 \cdot 6}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3}{5} - \frac{20}{48}} \\ = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{3 \cdot 48}{5 \cdot 48} - \frac{20 \cdot 5}{48 \cdot 5}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{144}{240} - \frac{100}{240}} = \frac{\frac{203}{140}}{\frac{44}{240}} \\ = \frac{203}{140} \cdot \frac{240}{44} \\ = \frac{203 \cdot 240}{140 \cdot 44} = \frac{48720}{6160} \\ = \frac{48720 / 2}{6160 / 2} = \frac{24360}{3080} \\ = \\ \frac{24360 / 2}{3080 / 2} \\ = \\ \frac{12180}{1540} \\ = \\ \frac{12180 / 2}{1540 / 2} \\ = \\ \frac{6090}{770} \\ = \\ \frac{6090 / 2}{770 / 2} \\ = \\ \frac{3045}{385} \\ = \\ \frac{3045 / 5}{385 / 5} \\ = \\ \frac{609}{77} \\ = \\ \frac{609 / 7}{77 / 7} \\ = \\ \frac{87}{11} \end{matrix}$

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